Главная » Книжные издания

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 34

С ТОЧКИ зрения строительной механики и метода конечных элементов такой подход можно трактовать как применение в расчете алгоритмических конечных элементов, для которых матрица жесткости и приведение местной нагрузки к узловой осуществляется численными методами (не путать с численным интегрированием).

Суперэлементы, в свою очередь, можно расчленить на подсистемы (суперэлементы 2-го ранга), развивая этот процесс и организовав своеобразную многоранговую рекурсию.

Таким образом, суперэлементный подход позволяет значительно сократить (особенно при наличии одинаковых типов суперэлементов) количество вычислений. Влияние плохой обусловленности общей матрицы систем уравнений преодолевается за счет того, что при наличии одинаковых типов конечных элементов погрешность локализуется. Используя физический смысл МЖ суперэлемента (возможность проверки различных видов равновесия, так в каждой строчке МЖ можно выбрать элементы, сумма которых должна быть равна нулю, или составить уравнение равновесия относительной оси проходящей через любые два суперузла и т.п.). На основе различных предпосылок можно подправить элемент МЖ полностью исключив погрешность, накопленную в процессе исключения неизвестных перемещений внутренних узлов суперэлемента. По такой же процедуре может быть обработан и столбец {nio на рис. 3.6) супернагрузок.

Метод суперэлементов может оказаться очень удобным при решении нелинейных задач, когда существуют подконстр)тсции, которые можно рассматривать как линейные. Например, здания большой жесткости на податливых односторонних связях. В этом случае схема здания может быть объявлена суперэлементом и итерационный процесс решения нелинейной задачи будет сведен к расчету небольшой основной системы.

Таким образом, реализация методов решения разреженных матриц совместно с суперэлементным в настоящее время является наиболее эффективным инструментарием так как дает возможность:

значительно сократить количество вычислений, а следовательно и время решения задачи;

достаточно успешно решить проблему плохой обусловленности матрицы больших систем уравнений;

организовать эффективное решение нелинейных задач;

удобно осуществить синтез компьютерных моделей, т.к. на этапе создания расчетных схем работа с суперэлементами обладает теми же удобствами, что и работа с фрагментами.

Определенным недостатком суперэлементного подхода является трудность реализации, связанная не только с организацией рекурсивного расчета, но и организацией пользовательского интерфейса. Так визуализация результатов расчета (изополей усилий и напряжений) для

всей конструкции, состоящей из суперэлементов, связана со значительными трудностями.

Этим, по-видимому, можно объяснить, что суперэлементный подход реализован только в наиболее продвинутых программных комплексах.

3.4 Глобальные, местные, локальные системы координат, углы чистого вращения

Глобальная система координат (g) предназначена для задания общей геометрии системы- координат узлов, ориентации некоторых нагрузок, ориентации местных {т) и локальных (/) систем координат Глобальная система координат может быть декартовой, сферической, цилиндрической или другой системой, которая может быть задана аналитически. Местная система координат является прерогативой конечного элемента и предназначена для ориентации конечного элемента относительно глобальной системы координат, удобства построения матрицы жесткости, задания местной нагрузки, определения напряжений и усилий. Как правило, местная система координат - декартовая. Локальная система координат (безусловно, здесь можно говорить о некоторой тавтологии-местная и локальная, по сути, обозначают одно и тоже, однако будем считать, что это издержки терминологии) является прерогативой узла и предназначена для ориентации некоторых его атрибутов: узловой нагрузки, узловых перемещений. Как правило, локальная система координат тоже декартовая. Реализации различных сочетаний этих систем предоставляет много удобств* при составлении компьютерных моделей.

Так, например, для гидростатического давления на цилиндрический резервуар удобно задавать местную нагрузку на конечные элементы в местной системе координат, а при нагрузке от собственного веса удобно задавать нагрузку в глобальной системе координат, имеющей одну из осей направленную вертикально. Если необходимо задать узловую нагрузку, связь или организовать расчет на заданное перемещение, направление которых не совпадает с осями глобальной системы, то в соответствующий узел вводится локальная система координат с нужными направлениями.

Различные возможности применения этих систем координат и их сочетаний еще будут неоднократно обсуждаться ниже, и, конечно же, в четвертой главе при рассмотрении технологии синтеза компьютерных моделей.

Алгоритмы построения матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой удобно организовывать в местной системе координат. Это касается как использования аналитического вида МЖ (для каждого элемента МЖ имеется формула) так и при численном интегрировании. Для

* В ПК ЛИРА реализованы три типа систем координат и пользователю предоставляется возможность манипулирования ими в различных сочетаниях.

ориентации местной системы координат КЭ имеющих более двух узлов достаточно иметь координаты трех узлов. Например, ось Хт проводится через первые два узла (рис. 3.7), ось Ym совпадает с направлением перпендикуляра к оси Х^, проходящего через третий узел, а ось образует правую тройку. При этом матрица направляющих косинусов {Cmg ), на

основе которой производится перевод атрибутов КЭ (матрица жесткости, местная нагрузка и др.) из местной системы координат в общую имеет вид:

Компоненты этой матрицы вычисляются по координатам трех узлов элемента (см. рис 3.7) в глобальной системе координат по следующим формулам:

Рис. 3.7

COSi.i =X2/Lo, C0S2.1 =Y2/Lo, COS3.I =Z2/Lo, COSi.2=(X3-PlX2)/Li,

COS2.2KY3-PlY2)/Lb COS3.2=(Z3-PiZ2)/Lb COSi.34Y2Z3-Z2Y3)/L2, COS2.3=(Z2X3-X2Z3)/L2, COS3.3=(X2Y3-X3Y2)/L2

где

0 - л/2 + 2 2

длина

отрезка

1-2,

L, = л/Хз + + Z3 -Р^ - длина перпендикуляра из узла 3 на 1-2,

Р = {Х^ X-Y-Y--ZZ)/ L L-LL.P P.L X, Y2, Z2 X5, 7j, Z3 -~ координаты в глобальной

системе 2 и 3 узлов

относительно узла 1, т.е. Х2=Х2 -

Xi и т.д.

Для двухузловых

элементов, а их класс очень велик (стержневые элементы), системы координат двух узлов недостаточно для построения такой матрицы косинусов, для

\. Глобал.
		COSiJ	cos 2	COS 3
		COS 2.1	COS2.2	COS2.3
		COSs.l	COS3,2	COS33

* в большинстве случаев для ориентации одной декартовой системы относительно другой достаточно знать три угла Эйлера, однако в случае Карданова подвеса углы Эйлера определяются неоднозначно. В связи с этим в реализации предпочтительней использовать матрицу косинусов.

ЭТОГО еще необходима дополнительная информация, . например, угол чистого вращения, определяющий положение главных осей сечения стержня относительно глобальной системы координат (рис. 3.8).

Как правило, ось Хт совпадает с осью стержня (рис. 3.8 а), а оси 7 и Zfn являются главными осями сечения стержня. Обычно их ориентация определяется углом чистого вращения (устоявшийся термин строительной механики стержневых систем), который является углом между одной из главных осей сечения (например, 7) и осью OA (пересечение плоскости поперечного сечения стержня, которая ортогональна оси с плоскостью Х(97 глобальной системы координат).

Рис. 3.8

Очень часто направление 7 задают третьим узлом, тогда построение Cmg для стержня аналогично элементу пластины.

Для задания локальной системы координат необходимо задание матрицы CIg направляющих косинусов между осями локальной и глобальной систем координат. Если матрица Cmg для элементов, имеющих более двух узлов может быть построена на основе имеющихся координат узлов, заданных в глобальной системе координат, то при задании Cmg для стержня, а также Clg нужна дополнительная информация, поэтому программный комплекс должен предоставлять пользователю удобный инструментарий для его задания*.

При составлении канонических уравнений МКЭ матрицы жесткости Km и векторы местной нагрузки Р^, приведенной к узловой, необходимо переводить в глобальную систему координат, а если узел имеет локальную систему координат, то этот перевод необходимо произвести с учетом локальной системы координат. Этот перевод производится по следующей схеме:

* В ПК ЛИРА реализованы многочисленные приемы, облегчающие пользователю задание такой информации.

Cmg - матрица косинусов для перевода компонентов и Рт из местной в глобальную систему координат;

Cgl - матрица косинусов для перевода компонентов Km и Р^ из глобальной в локальную систему координат.

Очевидно, что Cgm = С^, Clg = С^.

Кроме того,

Cml = CgI-Cmg иС1т = С1,=С1-С1,.

Тогда для перевода вектора из местной системы координат в локальную используется матрица Cml = Cgl Cmg, т.е. Xi - Cgl Cmg Хт .

Для преобразования матрицы жесткости в местной системе координат Km В матрицу жесткости в локальной системе координат Ki Kl = Clm Km Cml = Clg Cgm Km - Cmg - Cgl

Для вектора правых частей: PI = Cml Рт = Cgl Cmg Рт

Для преобразования Km в матрицу жесткости относительно глобальной системы координат используется формула:

Kg ~ Cgm Km Cmg, а для вектора правых частей Pg = Cgm Рт .

Перевод параметров НДС из одной системы координат в другую производится во многих случаях, например, вычисление в местной системе координат напряжения (усилия) перед построением изолиний и изополей должны быть переведены в глобальную систему, а при построении главных напряжений должны быть указаны их направления относительно глобальной системы координат и т.п.

3.5 Реализация граничных условий Расчет на заданные перемещения Кинематическая связь перемещений

Граничные условия в виде наложенных абсолютно жестких связей реализуется при помощи вычеркивания из общей матрицы жесткости строк и столбцов, соответствующих перемещению, по направлению которого наложена связь. Алгоритмическое описание этой процедуры приведено в разделе 3.2. Если наложенная связь имеет податливость, то по этому направлению может быть введен одномерный элемент (стержень), имеющий только одну соответствующую жесткость. В библиотеке конечных элементов должен иметься набор таких элементов облегчающих пользователю эту процедуру. А наличие локальной системы координат позволяет моделировать случаи, когда наложенные связи не совпадают с глобальной системой координат.

Термтодоггт: с точки зрения МКЭ такого типа элементы (а их набор может быть достаточно широк, uonpujiep, элементы, моделирующие податливую связь между узлами, элементы, моделирующие предварительное напряжение и т.п.) не являются конечными элементами, так как не обладают необходимыми атрибутами КЭ (область, базисные функции), но с точки зрения инженера - это элементы, моделирующие то или иное свойство конструкции, так что в дальнейшем мы будем называть их конечными элементами, хотя у апологетов МКЭ это может вызвать неудовольствие.

При присоединении узла КЭ к узлу расчетной схемы одна или несколько связей может отсутствовать или иметь конечную жесткость. Типичным примером такого случая может быть шарнир. Опытный пользователь может организовать шарнир подручными средствами -двойная нумерация узла с последующим объединением соответствующих перемещений. Но в случае если линия цилиндрических шарниров не совпадает с одной из глобальных осей или шарниры не полные, а имеют конечную жесткость, должно быть реализовано частное решение, основанное на жордановом исключении.

Если же шарнир неполный , т.е. конечный элемент присоединяется к узлу при помощи податливой связи, то в этом случае можно использовать специальный конечный элемент податливая связь в узле . Однако имеется более чистое решение, основанное на преобразовании матрицы жесткости подобно тому, как преобразовывается матрица жесткости стержня имеющего на одном из концов шарнир. Это преобразование основано на Жордановом исключении.

Приведем механическую трактовку этого преобразования, предложенную в [3.6]. К узлу элемента, где назначен шарнир по некоторому направлению с номером и, добавляется еще один стержень, имеющий жесткость Rel только по этому направлению (жесткость шарнира). Матрица жесткости такого стержня имеет вид:

Rel -Rel ~~Rel Rel

Таким образом, матрица жесткости элемента окаймляется строкой и столбцом, ее размерность становится о +1 причем

о+1. о+1 > о+1 = 0+1, диагональному элементу

добавляется слагаемое Rel. В часном случае полного шарнира Rel=0. Далее производится Жорданово исключение для неизвестного (строки, столбца) с номером п.

При этом производятся следующие преобразования. Обозначим q - К^+ Rel, Fj - Kj.

Элементы преобразованной матрицы Kj вычисляются по формулам: Kl =Rel-{Rel)\iq = K yRellq

kj=Kl=Kj, -Rel/q jn Kl=K].=K,.-rrrjlq, 1Фп, ]Фп

в простейшем случае сжато-растянутого стержня и шарнира по X в первом узле имеем:

1,2 - -2,1 - -j

=---n = l.

0=2.

Для преобразованной матрицы получим:

щ- + Rel

щ +Rel

+ Rel

т.е. все элементы матрицы умножены на

- + Rel

При полном шарнире (Rel=0) получим Kij=0.

Расчет на заданные перемещения несколько нарушает стандартную процедуру МКЭ так как разрешающие уравнения МКЭ представляют собой уравнения равновесия и в правой части находится нагрузка. Поэтому такой расчет можно трактовать как учет граничного условия, когда перемещение узла равно не нулю (введение абсолютно жесткой связи), а имеют величину отличную от нуля. Процедура расчета на заданные перемещения связана с обработкой матрицы К канонических уравнений по следующей схеме.

В системе уравнений МКЭ Kq-\-P=0, для какой либо из компонент qj

вектора неизвестных q, задано значение qj = q.. Рассмотрим вектор q, у которого у-тая компонента равна q-, остальные равны нулю, и представим вектор q в виде q = q+qr

Очевидно, что у-тая компонента вектора qj равна нулю, остальные компоненты векторов q и qj совпадают. Тогда для вектора q получим систему

Kq +Pj =0,

гт = Kq -\-Р - новый вектор правых частей. В этой системе для j-того неизвестного следует добавить граничное условие q\ = 0.

Вектор Kq можно получить либо непосредственным умножением

матрицы К на вектор q, он будет равен 7-тому столбцу матрицы К,

умноженной на q, либо, что более удобно и соответствует поэлементному

методу составления матрицы, суммированием всех реакций конечных элементов имеющих узловые неизвестные с номером 7, от

перемещения qj.

Обработка матрицы К по рассмотренной выше схеме по сути аналогична процедуре наложения связей, т.е. если компонента вектора q. =0, то это означает, что по направлению этого узлового неизвестного

наложена связь. Поэтому, расчет на заданное перемещение в каком-либо загружений обусловит наличие наложенной связи для других загружений, если для них используется обработанная матрица К. Если надо провести расчет на заданное перемещение в одном загружений, а для других загружений соответствующее узловое неизвестное присутствует (т.е. по этому направлению нет связи), то необходимо использовать две различные матрицы К.

При составлении компьютерньк моделей конструкций часто встречаются случаи, когда имеются включения абсолютно жестких тел, обуславливающих кинематическую связь перемещений. Конструктивные решения, которые побуждают инженера вводить такие тела, будут рассмотрены в главе 4. Здесь же рассмотрим несколько конкретных случаев их реализации.

Жесткое тело

Область конструкции

Рис. 3.9

Рис. 3.10

На рис. 3.9 приведен наиболее простой случай, когда необходимо объединить перемещения узлов 1 и 2 по направлению 1 - 2.. В этом случае в узлы 1 и 2 можно ввести локальную систему координат, так чтобы одна из осей совпадала с направлением 1 - 2 и объединить перемещения. Более

СЛОЖНЫЙ и наиболее часто встречающийся случай - это абсолютно жесткие вставки. На рис. 3.10 приведен случай присоединения упругой части стержня (Г 2) к основным узлам конструкции (1, 2) при помощи абсолютно жестких вставок. В этом случае полученные матрицы жесткости элемента 1-2 выглядят следующим образом: [МЖ12] = [NN] X [МЖг2] X [UU],

где МЖ12 - матрица жесткости упругой части стержня Г2

NN - матрица, связывающая усилия в сечениях Г(2)з

например

м, =м: + 7г: -R

X

Рис. 3.11

UU - матрица кинематической связи перемещений в узле Г(2) с перемещениями в узле 1 (2),

например а[ -а^л-va - иЪ

где а, V, W - перемещение (угол поворота и линейные смещения вдоль осей У и X)

Более сложный случай, когда абсолютно жесткое тело связывает несколько узлов (рис. 3.11), требует более сложной реализации.

Пусть узлы хо, X/, х„ объявлены узлами жесткого тела. Обозначим = -Xq Z = 1,...,п - векторы, направленные от первого узла ко всем

остальным, и.,а. i = 1 ,п - векторы перемещений и поворотов узлов х/.

При малых величинах поворотов а,- для жесткого тела векторы и^,а.

связаны соотношениями и. =Щ+[а^хг,

а. /-1,...,/7,

где символом [х] обозначено векторное произведение трехмерных векторов.

Для векторов усилий (реакций) М, Mi справедливы аналогичные соотношения

Матрицы размерности 6x6, соответствующие преобразованиям перемещений и реакций будут обозначать соответственно Cu,i и Смл- Если конечный элемент Д- содержит один или несколько узлов жесткого тела, его матрица жесткости Ку и вектор нагрузок Ру преобразуются с помощью матриц Си,г и Смг, построенные по и Смл по формулам:

Эти формулы применяются и для стержней с жесткими вставками. При больших поворотах применяются формулы [3.8]

sin в г 1 cos 6*

о L0

(г-0-а{а,г)]

где в- Х^о^о) ~ длина вектора а^,{ , ) - скалярное

произведение.

Применяется также и промежуточный вариант :

sinO , cos 6* 1

положив -------= 1,--- = -, получим

в 0 2

Такое представление применяется при исследовании устойчивости систем с кинематическими связями [3.9]. Оно отличается от линейного

наличием квадратичного слагаемого ( ~

В главе 4 будут приведены примеры использования в компьютерных моделях элемента абсолютно жесткое тело .

3.6 Определение геометрических характеристик сечений стержней

В докомпьютерный период, когда методы строительной механики стержневых систем были разработаны достаточно полно и инженеры в своем большинстве владели ими хорошо, решение задач теории упругости бьшо уделом небольшой группы высококвалифицированных специалистов. Когда же появился МКЭ, то оказалось, что реализация расчета стержневых систем не менее сложна, чем пластинчатых и массивных систем. Это обусловлено большим количеством факторов, которые необходимо учесть в этом случае: шарниры, абсолютно жесткие вставки, разнообразие местных нагрузок, учет депланации сечений, углы чистого враш;ения, ну и конечно же определение характеристик самих сечений стержня.

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 34