Главная »
Книжные издания1 ...
25 26 27 28 29 30 31 ...
34 Согласно [16], динамическая задача вязко-упруго-пластичности имеет вид (при отсутствии трения)
7>(z, ,v) + (a,f(v)) + /(/,v) = 0, . (4.4.3)
A-a+g(cj)-£{u)Q (4.4,4)
при начальных условиях
im = u\ г/(0) = , (О)-а- . . (4.4.5)
Равенство (4.4.3) аналогично (4.1.8). Уравнение (4.4.4) означает, что деформация е является суммой упругой и неупругой, упругие деформации определяются законом Гука (1.1.2), записанном здесь в виде
скорость неупругих - определяется некоторой функцией g(o)=={g/.Xo)}, которая зависит от выбранного условия упругости. Предполагается, что g(0)=0 и
(g(cr,)-g(o-2X о;-с72)> Цо-.-Сгр , (4.4.6)
\\g{a)\\<k\\a. (4.4.7)
Неравенство (4.3.6) доказано в [16] для классических условий упругости Мизеса и Треска. Положим в (4.4.3) v=ii \ уравнение (4.4.4) умножим скалярно на а и сложим с (4.4.3). Применив (4.1.11), получим равенство
/?(z/) + (~a-,o-)]+(g(o-),cr)+/fr,n)-0, - (4.4.8)
2 dt
являющиеся аналогом уравнения энергетического баланса (4.1.12). Из (4.4.6) получаем при
Oia, сг?=0, что
(g(cT),<T)>0,
поэтому при отсутствии внешних сил производная полной энергии отрицательна,
колебания затухают.
Равенство (4.4.8), а также существование и единственность решения задачи (4.4.3) - (4.4.5) доказаны в [16].
Разностная схема для задачи (4.4.4) - (4.4.5) имеет вид
b{r, и. V) + {arr, о. £{v)) + L (v) - 0,
A C7 + g{aj - €{p li) = 0, m = 0,1,...
(4,4.9) (4.4.10)
при начальных условиях
Ш
(4.4.11)
Теорема 10. Для схемы (4.4.8) - (4.4.10) справедливы неравенство устойчивости
<к
(4.4.12)
и оценка погрешности
(4.4. П)
Доказательство: Положим в (4.4.9) vPii умножим (4.4.10) скалярно на a aw сложим с (4.4,9). Применив (4.2.16), получим аналогичное (4.2.17) равенство
(4.4.14)
Далее, как при доказательстве теоремы 8, сложим равенства (4.4.14), применим (4.1.6) для / (4.4.7) для (g(c7),amO-)-
Из дискретного варианта леммы Гронуолла получим (4.4.12), а затем и оценку пофешности (4.4.13).
При решении системы двух уравнений (4.3.9), (4.3.10) воспользуемся равенством тогда из (4.4.10) находим
а„ <т - А£{апг и) + dr. (w, ст), (4.4.15)
где (w,а) - - А€{и^ ,) - OAgiaJ- (4.4.16)
Подставив в (4.4.9), получим уравнение относительно
КГт ) + ( - + drn (г/, 0-) + (V) - О,
(4.4.17)
где a(ii, v) - билинейный функционал линейной задачи.
Положив в (4.4.3) и (4.4.9) b(u,vj=0, получим квазистатическую задачу, исследованную в [16] и приближенную схему для такой задачи.
Переход к стержням и оболочкам в (4.4.17), (4.4.15) выполняется из соответствующих предположений о перемещениях и деформациях так же, как для статической физически нелинейной задачи.
Как и в статическом случае, возможны одновременный учет геометрической нелинейности и вязко-упруго-пластичности. Уравнение (4.4.4) записывается в виде
а уравнение (4.4.3)
Ки , V) + (сг, D{u, у)) + /(/, у) = 0.
Исследование уравнений, построение и исследование разностных схем производится аналогично.
Односторонние динамические задачи
Как следует из рассмотрения статических односторонних задач (раздел 3.6.), динамические односторонние задачи имеют вид
Ь{и , V) + с(и , V) + a(w, у) + d{u, у)+/(/, v) = 0 (4.5.1) при начальных условиях (4.1.9).
Нелинейный по и функционал d{u,v) определен в разделе 3.6. для конкретных задач. Здесь будет предполагаться, что для всех u.vV
J(w,v)<A-(c7(w)+c(y)+Z)(y)). (4.5.2)
Уравнение энергетического баланса имеет вид 1 d
piu) + а{и)\-\- с{и\и) + d<u,u) + l(tai) = 0. (4.5.3)
Из (4.5.2) и леммы Гронуолла следует существование и единственность решения задачи (4.5.1).
Разностная схема имеет вид
(r.v) + c(y9 w,v) + fl(or w,y) + J( ,y) + L(y) = 0 (4.5.4)
с начальными условиями (4.2.11).
Положив у=Д,;г/, как и при доказательстве теоремы 8 получим, применяя (4,5.2), неравенство устойчивости (4.2.7) и оценку погрешности (4.2.8).
Обозначения
Математика
It - и - мерное пространство;
х=(х ..., Xn)ei? - п - мерный вектор;
Q cJ? - ограниченная замкнутая область в Е!;
Г - граница области Q;
V - единичный вектор нормали к Г, направленный от Q;
и(х) - функция п переменных.
Суммирование по повторяющимся индексам:
Скалярное произведение векторов из Векторное произведение векторов из R
[х, у] = {Х2 Уз - Хз у2 . Хз >1 - XI Хз , XI у2 ~ Х2 V,) G R
Производные:
д,и- Uj = -- - частная производная по Ху;
д-и
-- вторые производные и т.д.;
д,л( - ujVi - производная по нормали;
Ам = uj - оператор Лапласа
Мультииндекс i=(i},.. ij - вектор с целыми неотрицательными компонентами,
-/. + -.- + /. используется для сокращенных записей:
х'-(х/,.....г,/ ),
дхГ-дх Символ Кронекера:
Пространство интегрируемых функций L2=L2(Q) - множество определенных в Q функций и(х), для которых конечна норма
\\и{х)\~ dn.
Пространство СЛ.Соболева дифференцируемых функций (D)= - множество функций и{х\ для которых конечна норма
0, целое; L2=
Аналогично определяются Ь2(Г), Н^(Г).
Скалярное произведение в Я^:
(w,v), - \YDii{x)Dv{x)dn.
Функционал 1(и) -функция от we со значениями в R\
Функционал линеен, если
Iicai + fiv) = al(u) + J3liv), a,fieR.
Билинейный функционал (билинейная форма) a(u,v) - функция от u,vEl-f, со значениями в R, линейная по и и по v. Билинейная форма
симметрична, если a(u,v)a(v,u),
неотрицательна, если а(%и)>0
коэрцитивна (положительно определена), если
Функционал выпуклый, если при (?<?</ справедливо неравенство К(1-0/+2)<(1-0/( .)+ад
Вектор-функцию , где хеР , Л -мультииндекс, обозначаем jc*.
Для мультииндекса ш:
41=к
Для целого г, nij+O:
177/+г
Скалярное произведение для вектор-функций: (w,vX = (w;,vO -
Множество функций, имеющих в Q непрерывные производные до порядка А^>0 включительно, обозначаем Q(iQ), Co(Q) - множество непрерывных в Q функций.
Производная функционша [30], [37]
Производной Фреше произвольного функционала 1(и) называется линейный функционал /,(v), такой, что выполнено равенство l{u + v)-l{u)-lAv)
- 0.
Производная Гато произвольного функционала 1(и) определяется равенством
/:(v)= [/(/ + v)] .
Если производная Фреше является непрерывной функцией от w, то производные Фреше и
Гато совпадают.
Носитель функции и функционала [30]
Носитель функции supp u(x)czD. - наименьшее замкнутое множество, вне которого и(х)=0. Функционал 1(и) равен нулю на открытом множестве QqCiQ, если l(uj=0 при всех и, таких что supp udQo.
Дополнение множества Qq в Q, т.е. Q\Qq называется носителем функционала ifu), обозначается supp 1(и).
Например, для функционала ;() fг/(х) JQ, Q Q, supp 1{и) Qo (замыкание Qo),
ДЛЯ функционала 1(и)=и(хо) или l{u)dju{xo) носителем является множество, состоящее из точки Хо-
Теория множеств
о^А - элемент о принадлежит множеству А;
B<zA - все элементы множества В принадлежит множеству А;
Аг\В - пересечение множеств Аи В - состоит из всех элементов, принадлежащих и А, и В; АиВ - объединение множеств А и В - состоит из всех элементов, принадлежащих либо А. либо в.
Механика
и{х){ щ(х\ U2(xl uix)) AxlF{x)
£ijiu), eijiu), У^1,2,3
вектор-функция перемещений; вектор-функция возможных перемещений; вектор-функции внешних сил, приложенных в Q и на Г; линейный и нелинейный тензоры деформаций средняя деформация; тензор напряжений; среднее напряжение; главные напряжения;
=arcsin(27j3/2-.
Ob=SbS2 53
Е
Т с
- инварианты тензора напряжений;
- модуль Юнга;
- коэффициент Пуассона;
- модуль сдвига;
- температура;
- коэффициент температурного расширения;
- часть границы, где заданы перемещения;
- часть границы, где заданы поверхностные силы F;
- вектор напряжений по нормали к Г, <jyj=aijVj.
Возможная работа внутренних сил
п
Возможная работа внешних сил /(V) = J/,(x)v,U)Q+ lF,(x)yXx)dr.
Множество допустимых перемещений V - множество функций г/, для которых конечна величина a(u,iij, и которые удовлетворяют граничным условиям наГ„. Множество К называется также энергетическим пространством.
Поскольку обычно a(u,ii)>Q, то величину a{u,u)\i\ ~ вают энергетической нормой. Стержни
| - длина стержня; |
| - область, занимаемая сечением; |
| - граница Qq; |
| - площадь сечения; |
| - момент инерции кручения; |
| | - главные центральные моменты инерции; |
./.0 | - бимомент инерции; |
| | - сдвиговые площади; |
Ni, М | - внутренние силы и моменты. |
0V;=7V, N2=Qy, Nj-Q М^=М,=Мк Mj-M Ms-hQ. Пластины
Q - двумерная область, занимаемая срединной плоскостью;
S - толщина;
цилиндрическая жесткость;
Щ\~р')
Мц - внутренние силы и моменты
(А^.з= & М.з=ел 3,3=0, М,з=Мз-0); Хи, 4=.2 -кривизны.
Динамика
р - плотность материала;
b(u,v) - возможная работа сил инерции;
с(и. v) - возможная работа сил сопротивления.
МКЭ
- конечные элементы;
- узлы;
- звезда элементов;
- узловые неизвестные; /и^ - базисные функции;
/г - наибольший из диаметров (диаметр - наибольшее расстояние между
двумя точками из Q);
Vf, - множество линейных комбинаций функций /4, удовлетворяющих при х/,еГц
фаничным условиям; Р\П^) - множество многочленов степени s на Q/.
Q\Qr) - множество функций, являющихся произведением многочленов степени s по каждой переменной;
возможные работы внутренних и внешних сил по области Cl.
Конечные разности
6- шаг по времени; /, = тв.
a,nii = (w, ..i + w, -i)/2;
y, и = 6 {S, и - S~i w) = 6 (П...-1 - 2+ . p,u - {8,nU-8,.xu)ll - (2(9) (w.., -w,.-i)-
Испояьзуемые теоремы [30, 55, 8, 16, 56] Неравенство Буняковского:
<
а
Неравенство треугольника: а + /)<а|-б| Лемма Гронуолла:
если для u(t)>0 при 0<г<Г выполнено неравенство
и(0 < А', + А'2 г/(л)£/л', ,Ь > 0.
о
то при 0<t<T Дискретный вариант:
u{tj<k, +kOY,u(tX =тв, (9 = тах(/, если =0 , то
/(г. )<А- е'-.
При AlO получаем u{t)=0.
Теоремы вложения СЛ. Соболева:
1. Пусть Qc=/? и/7<2/с.
Тогда для любой функции иеН^{0.) справедливо неравенство
тах (х) <Ки, Т.е. i/eCo(Q).
2. Пусть Qc:/? , w<2, QoCiQ, размерность Q(, равна л, х>П'2к. Тогда для любой функции иеН^(0.) справедливо неравенство
u(x)dx<Ku-
При невыполнении условий теорем соответствующие неравенства не верны.
1 ...
25 26 27 28 29 30 31 ...
34
