Главная » Книжные издания

1 2 3 4 5 6 7 ... 34

Таким образом, теоретическое обоснование функций (pi может быть сведено к их проверке на удовлетворение перечисленным выше требованиям.

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряженно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. По области конечных элементов, как правило, это требование удовлетворяется автоматически, поэтому проверять надо неразрывность соответствующих компонентов только по линиям или поверхностям контактов конечных элементов [2.38]. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемещениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области контактов КЭ. Из тех же соображений при решении задач изгиба плит или оболочек (порядок дифференциального оператора - 4, а в функционал Лагранжа входят вторые производные по перемещениям) необходимо обеспечить непрерывность, как перемещений, так и их первых производных по линиям контактов.

Линейная независимость базисных функций проверяется достаточно легко и, как правило, выполняется для МКЭ автоматически.

Для проверки полноты необходимо установить порядок р полинома, который выражается линейными комбинациями функции <pjg, и в случае р>т (2т - порядок дифференциального оператора А) третье требование выполняется. В дальнейшем число р будем называть порядком аппроксимации системы базисных функций. В работе [2.11] получено соотношение, позволяющее определить р для произвольных сеток и наборов степеней свободы в узлах:

T.f,{B,x)<Pj,(x)x (2.12)

Xja, g=]

при г < р и X G Q,. ,

где Xf - узлы конечного элемента О. gj число узловых неизвестных в узле У; (pjg, ~ базисная функция; gj - количество узловых неизвестных узла Xji т - мультииндекс; Bjg - функционал, определяющий значение узлового неизвестного.

Если базисные функции (pi удовлетворяют всем трем перечисленным выше требованиям, то сходимость МКЭ оценивается аналогично вариационно-разностным методам.

На основе теорем об оценках погрешности интерполяции функций степенными полиномами в работе [2.5] показано, что

u-u; <ch- , (2.13)



где и, щ ~ точное и приближенное решения; h - максимальный диаметр элементов; с - константа, измеряющая погрешность, ~ норма

в энергетическом пространстве.

Из энергетической оценки (2.13) вытекает средняя квадратичная оценка для напряжений, т.е.

а-а, <ch-\ (2.14)

где <7, Oh. ~ соответственно точное и приближенное значения напряжений.

Используя прием Нитше [2.38], из (2.13) можно получить среднюю квадратичную оценку для перемещений с более высоким порядком сходимости:

ii-~u,<ch\ (2.15)

t - 2(р н-1 - m) при р-\-1<2т и t = р-\\ при р + \>2т.

В [2.38] и других работах исследуется возможность перехода к оценкам погрешностей в отдельных точках области П, это свидетельствует о том, что МКЭ при достаточно высоком порядке аппроксимации р имеет сходимость не только в обобщенном энергетическом смысле, но и для отдельных точек, даже при наличии различных сингулярностей в геометрии, граничных условиях, нагрузке.

Приведенные оценки имеют не только чисто теоретическое значение, но могут оказаться полезными при практических расчетах, например, если интересует вопрос, как далеко полученное приближенное решение отстоит от точного. На основе оценок (2.13) - (2.15) можно примерно оценить абсолютную погрешность для имеющегося приближенного решения, если известны константы с.

В работах [2.11, 2.12] намечены пути их определения для различных классов задач теории упругости. Однако это может оказаться очень трудоемким и несоизмеримо более сложным, чем решение самой задачи. Вместе с тем можно предложить другой путь, заключающийся в том, что на основе двух расчетов с последовательным сгущением сетки (например, в 2 раза), используя оценки (2.13) - (2.15), можно составить примерное представление о точном решении и иметь суждение о расчетной сетке, необходимой для достижения заданной точности (примеры исследования некоторых конечных элементов на основе оценок (2.13) - (2.15) приведены в п. 2.3). Этот прием можно рассматривать как перенесение на МКЭ идеи Ричардсона - для разностных схем, которая обоснована и исследована в работе [2.13].

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций /, удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих первому требованию принадлежности к энергетическому пространству Яд. В связи с этим оценки (2.13) ~ (2.15)



непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [2.14]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольная плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работе [2 Л 6] и описаны в приложении 1.

В этих работах доказательство сходимости МКЭ для несовместного случая не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования.

Теперь кратко остановимся на выборе узловых неизвестных. Неизвестное, соответствующее узлу, является общим для всех конечных элементов, содержащих этот узел (звезды элементов - рис. 2.2). Это означает, что функция соответствующая узловому неизвестному в j узле должна быть непрерывной.

Например, для сжато-растянутого стержня JJjJ ./-У (рнс. 2.3) при EF}EF2 назначение узлового EFi EF.

неизвестного в узле j(x=l) в виде перемещения gj вдоль оси X не приводит к противоречию между главным граничным условием в точке j ul(l)-ii2(l)=qj(l) (ul(x) и u2(x) - значения функгщи

л

Рис. 2.3

и(х) слева и справа от узла j) и естественным ах

Если же в узле j ввести узловое неизвестное - , то равенство будет

противоречить естественному гранично.му условию, т.е. в узле j будет нарушено условие равновесия.

Из таких же соображений для изгибаемых элементов не следует назначать узловые неизвестные в виде значений вторых производных. Из аналогичных соображений для балок-стенок (плоское напряженное



состояние) не следует назначать узловые неизвестные в виде значений угла

поворота относительно оси, ортогональной плоскости балки-стенки

ди dv ду дх

Из изложенного следует, что узловыми неизвестными могут являться только значения:

для стержней - трех перемещений и трех углов поворота;

для балок-стенок - двух перемещений;

для объемных элементов - трех перемещений;

для тонких пластин - одного перемещения и двух углов поворота;

для тонких оболочек и оболочек Рейнснера - трех перемещений и двух углов поворота.

Для других теорий, например, толстых и многослойных пластин, используются дифференциальные уравнения, которые допускают более широкий набор узловых неизвестных.

Мы надеемся, что эти аргументы (и аналогичные, приведенные в [2.33]) будут восприняты исследователями, разрабатывающими новые конечные элементы, а также пользователями, применяющими МКЭ с пониманием особенностей этого метода.

2.3 Исследование конечных элементов

Как уже указывалось выше, одним из важных преимуществ МКЭ является возможность провести исследование сходимости, оценить

приближенное решение, исследуя только один тип конечного элемента, который используется для решения данной задачи, абстрагируясь при этом от контура области, нагрузки, граничных условий. По сути в задачу исследования входит определение показателя степени при h в выражении (2.13 - 2.15). если этот показатель больше нуля, то это означает, что МКЭ для данной задачи сходится и имеется возможность оценить приближенное решение.

Пример такого исследования приведем на достаточно распространенном типе КЭ - совместном прямоугольном конечном элементе для плоского напряженного состояния.

а

Рис. 2.4



В каждом узле этого элемента (рис. 2.4) вводится по два узловых неизвестных^/I qp при j = 1, 2, 3, 4, которые в физическом смысле соответствуют линейным перемещениям вдоль осей х и в каждом узле.

Перемещения ы, v независимо аппроксимируются функциями:

- (1 - )(1 - 7); 2 - (1 - 7);

3 - (1 - )77; 4 - т;;

(2.16)

где^:= ;

В неявном виде аппроксимация (2.16) выглядит так: 0;Дх,у)-а, +а2Х-\-а^у + а^ху.

Функции (pj равны единице в узле j и равны нулю на сторонах, которые не примыкают к j узлу, изменяются по полилинейному закону на Qr и по линейному на сторонах, примыкающих к узлу j.

Система функций (2.16) линейно независима. Линейный закон изменения функций (pi на сторонах конечных элементов обеспечивает непрерывность перемещений по области контакта конечных элементов, а, следовательно, и существование напряжений и деформаций, входящих в функционал потенциальной энергии. Таким образом, система функций (2.16) принадлежит энергетическому пространству Яд.

Для плоского напряженного состояния порядок дифференциального оператора 2т=2. Поэтому, чтобы показатель степени р+\-т в оценках (2.13 -2,15) был больше нуля, необходимо, чтобы порядок аппроксимации хотя бы равнялся 1, т. е./?=1.

Узловыми неизвестными являются перемещения узлов и{Хр v/) и v(x/,v/), поэтому функционалы Bjg, g=l,2 имеют вид Bji= uixj.yj), Bj2= у(х/, V/) (см. раздел 2.2, выражение 2.12).

Поскольку перемещения и и v аппроксимируются одними и теми же функциями <pj, тождества вида (2.12) прир=\ достаточно проверить дляBj/. В рассматриваемом случае из (2.12) получаем систему тождеств.

1 + 2 + 3 + 4 1;

(2 +(4); Г (2.17)

Подставляя (2.16) в (2.17) видим, что тождества удовлетворяются. Таким образом, функция (2.16) отвечает всем трем требованиям. Так как т=1 и р=1, то на основе оценок (2.14) и (2.15) можно сделать вывод, что



решение сходится по перемещениям с порядком /г , а по напряжениям с порядком h.

Проверим этот прогноз численным экспериментом. Рассчитаем жестко подвешенную прямоугольную балку-стенку под равномерно распределенную нагрузку р=500 тс/м, приложенную к грани (рис. 2.5). Модуль

1/ У Л' Л' W Ф

верхней

упругости материала £2,65-10 тс/м^, коэффициент Пуассона v=0,15; толщина конструкции 5=0,1 м.

Решение этой задачи в рядах с высоким порядком сходимости для некоторых точек области приведено в графе 5 табл. 2.1. В графах 6, 7, 8, 9 Рис. 2.5 приведены значения перемещений и

напряжений для трех точек нижней грани, полученные решением по МКЭ для различной густоты сетки.

Как

и следовало ожидать, порядок сходимости для перемещений составляет /z, а для напряжений /г, так как с удвоением густоты сетки разность между точным и приближенным решением для перемещений уменьшается примерно в 4 раза, а для напряжений примерно в 2 раза.

Таблица 2.1

О

н

Координаты узлов

&

Решение в рядах с

точностью до пяти

значащих цифр

Решение по МКЭ при расчетной сетке

У

16x16

32x32

-0,71927

-0,5808

-0,6808

-0,7093

-0,7167

-0,50801

-0,4107

-0,4812

-0,5011

-0,5062

-0,67233

-0,5555

-0,6204

-0,6641

-0,6702

-0,94990

-0,7857

-0,9053

-0,9385

-0,9470

264,82

190,27

228,00

246,80

255,8

374,31

268,98

321,99

348,12

361,2

Примечание: величины перемещений даны в мм, а напряжений ~ в кгс/см.

Ввиду гладкости граничных условий, нагрузки и области системы не следует ожидать наличия каких-либо сингулярностей, в связи с чем оценка (2.15) в данном случае окажется достаточно правомерной. Из данного примера видно, что если точное решение и неизвестно, то на основе оценки



(2.15) и двух расчетов, например на сетке 4x4 и 8x8, можно составить представление о точном решении. Так, для точки 3 при сетке 4x4 V4x4=~0,7857, а при сетке 8x8 V8x8=-0,9053. Разность между ними составляет 0,1196. Можно ожидать, что при следующем двойном сгущении сетки эта разность уменьшится в 4 раза, т.е. vi6xi6-+0,9053+0,25x0,l 196-0,9352, а Уз2х32=+0,9352+0,25х(0,9352 -0,9057)=н-0,9427. Продолжая этот ряд можно оценить пределы, в которых лежит точное значение этого перемещения.

Имеется другой, по-видимому, более короткий путь оценки точного решения основанный на перенесении на МКЭ экстраполяции Ричардсона для разностных схем, которая обоснована и исследована в работе [2.13\ Продемонстрируем эту идею на вышеприведенном примере.

Уточненное решение й ищется в виде:

U = CiUi н- C2U2

где iij и Ы2 - решения, полученные при последовательном сгущении сетки (для вышеприведенного примера для вертикального перемещения точки З-ы/ = Уз,4х4=0,7857, з. Ы2 Уз,8х8==0,9053).

С/ и С2 находятся из системы уравнений:

С,+С,=1 С.Л.+С./гз - О

Для вышеприведенного примера t=2 (порядок сходимости прямоугольного конечного элемента по перемещениям), а /72=0.5/71, (т.е. сетка сгущалась в 2 раза).

C.-hC, =1;

получим

с, л; + с, (0.5/7=С, +0.25С, -0;

Из системы уравнений

\ 3 2 3

Таким образом

V = -\ у4., + t V , У , + ; (у , - у ,) = +0,9053 + ; (0,9053 - 0,7857) = 0,9053 + 0,03987 = 0,9452

Если взять значения у для более густых сеток, т.е. iij = yi6xi6=0,9385, а 112 = Уз2х320,9470, то v = 0,9470 + (0,9470 - 0,9385) = 0,94983, т.е.

практически точное решение.

Использование квадратичных оценок (2.13 - 2.15) для оценки сходимости в отдельных точках для данной задачи, дало хорошие результаты в связи с тем, что здесь отсутствовали какие-либо сингулярности. На практике сингулярность всегда присутствует; контур с



ВХОДЯЩИМИ углами, точечные опоры и нагрузки, резкое изменение толщины пластины и т.п.

Исследование других типов конечных элементов приведено в Приложении 1.

2.4 Связь МКЭ с методами строительной механики стержневых систем

Систему уравнений (2.7) Кд-Р^О можно трактовать как уравнение равновесия. Ее аналогом в строительной механике стержневых систем является каноническая система уравнений метода перемещений.

В МКЭ компоненты матрицы жесткости вычисляются исходя из формул (2.6), (2.8), полученных из минимизации функционала Лагранжа. В строительной механике стержневых систем их находят как реакции от единичных перемещений. Если базисные функции удовлетворяют однородному уравнению равновесия, оба метода дают одинаковый результат.

Покажем это для рассмотренного примера сжато-растянутого стержня. Базисные функции имеют вид:

iW=l-- <Р2 тогда £{<p.)=f , 2)=! iU3(2.6)

II ах I I

получаем:

к., =

EF£{(p. )(у \ix, откуда непосредственными вычислениями полу

Выражение для Kij .можно преобразовать, пользуясь тем, что функг{ии (р/х) удовлетворяют однородному уравнению равновесия EF = О. Интегрируя по

частям, получим:



Интегршьиое слагаемое равно нулю, т.к. EF =0. Поскольку cpi(0)~cp-)(l)=l.

(pi(l)=(p2(0)=0, получаем:

K .-EFj(b\ K EF (ll K =EfJ(i\ К -ЕЕ(Ь)

dx dx dx dx

В строительной механике стержневых систем эти величины трактуются как реакции от единичных перемещений.

Аналогично рассматривается изгибаемый стержень, базисные функции (2.24) которого

удовлетворяют однородному уравнению EF

Применяя два раза интегрирование по частяи, получим равенство:

dx dx dx dx dx dx

-Е1{1}р,{1Е1{0Ш

Таким образом, если базисные функции удовлетворяют однородным уравнениям равновесия, МКЭ и методы механики стержневых систем дают одинаковые .матрицы жесткости.

Выражение (2.7) для получения компонентов вектора Р в строительной механике стержневых систем трактуется как процедура приведения местной нагрузки к узловой.

Таким образом, процедура решения задачи по МКЭ полностью соответствует методам строительной механики стержневых систем. Некоторое отличие можно проследить только в процедуре составления матрицы жесткости: для МКЭ всегда используется формула (2.8), для стержневых систем матрица жесткости часто строится из других соображений. Правда, стержневые системы имеют одну особенность: гипотеза плоских сечений, лежащая в основе их расчета, с одной стороны, обусловливает совместность конечных элементов, с другой стороны, порождает дифференциальный оператор задачи. Поэтому здесь появляется возможность подобрать такие базисные функции, которые, с одной стороны, являются решением однородного дифференциального уравнения,



С другой стороны, дают возможность построить совместные конечные элементы. МКЭ в этом случае для стержневых систем будет точным методом в смысле точного решения дифференциальных уравнений вида:

EF = 0 м EI г = О.

Вместе с тем можно привести примеры, когда есть смысл для стержневых систем использовать приближенные базисные функции. Рассмотрим стержень на упругом основании Пастернака с коэффициентами постели С] и Сг- Дифференциальное уравнение, описывающее напряженное состояние стержня, в этом случае имеет вид:

Выражение потенциальной энергии:

aw dxj

+ EI

В каждом узле стержня примем два узловых неизвестных (рис. 2.6): Uzi, Uz2 - вертикальные перемещения узлов 1 и 2; UfiKUj- - поворот вокруг оси V.

W Дх) = XUz, + XJJz + XU\ + XU

(2.19)

где X-.,X,X,X - базисные функции изгибаемого стержня (2.24).

Как легко убедиться, (2.19) не является точным решением дифференциального уравнения задачи.

Используя стандартную пропедуру МКЭ, построим матрицу жесткости (табл. 2.2), которая отличается от известной в строительной механике стержневых систем.

Основная цель приведенного примера продемонстрировать, что базисные фзшкции типа (2.24) тают точное решение для стержневых систем только в случае, если их напряженное состояние описывается

-о и

однородными дифференциальными уравнениями типа EI

EI - О. Если же дифференциальные уравнения имеют другой вид,



1 2 3 4 5 6 7 ... 34