Главная » Книжные издания

1 2 3 4 5 6 7 8 ... 34

как, например, в этом примере или в других случаях (стержень, работающий в условиях стесненного кручения, с учетом предварительного натяжения, физической нелинейности и мн. др.), то здесь надо иметь ввиду, что применяемая процедура МКЭ обуславливает приближенное решение и к решаемой задаче необходимо подходить с позиций МКЭ - сгущать сетку (дробить стержень), оценивать приближенное решение и т.п.

Таблица 2.2

	l~ 210 + O.IC2	/ 70 -1.2	/-420 +0.1C2
	4 + С1 / + / 105		2 - Ci/ -/ 140
		,Е1 13 , /	-O.lc.

Выясним сходимость МКЭ с использованием аппроксимирующих полиномов (2.19) и оценим погрешность на основе изложенной методики (см. п. 2.2). Выясним, удовлетворяют ли фзшкпии (2.19) требованиям, предъявляемым к базисным функциям МКЭ.

1. Ф5ШКЦИЯ принадлежит энергетическому пространству На, так как она обеспечивает непрерывность первых производных от как по области элементов, так и по границам между элементами, что обусловлено

общностью для двух смежных элементов.

2. Нетрудно убедиться, что функции (2.19) линейно независимы.

3. Покажем, что система фзшкций, построенная на основе (2.19), полна в пространстве На. Для принятой системы фзшкций согласно (2.12) необходимо выполнение следующих тождеств:

2 2

6 2 6

Для фзшкций (2.19) эти тождества справедливы. Таким образом, выбранные фзшкции удовлетворяют всем трем требованиям и.

следовательно, для приближенного решения задачи справедлива оценка (2.15), т.е. u - Uf, <са, так как для данного случая 2т=А - порядок

дифференциального оператора задачи; /?==3 - максимальная степень многочлена, которая выражается линейными комбинациями базисных функций Х-,Х^,Х^,Х^ и согласно (2.15) Г = 2(/; +1-т) = 4.

Подобную методику с использованием приближенных базисных фзшкций можно было бы выполнить для стержня работаюш;его в условиях стесненного кручения или с предварительным натяжением. В ряде случаев это оказывается более удобным, чем применение точных формул, которые, как правило, громоздки, содержат особые точки и имеют другие неудобства при практической реализации.

Таким образом, глубокая связь МКЭ с методами строительной механики стержневых систем может оказать взаимное плодотворное влияние. С одной стороны, МКЭ может использовать богатый опыт методов расчета стержневых систем, с другой стороны, о чем указывалось выше, в необходимых случаях имеется возможность проводить приближенное построение матриц жесткости стержней с использованием приемов МКЭ с последуюш;ей оценкой сходимости на основе хорошо разработанного математического аппарата МКЭ.

2.5 Применение МКЭ для решения линейных задач

Схема решения задач. Можно выделить пять основных этапов решения задач по МКЭ: расчленение системы на КЭ и выбор базисных функций; построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой для каждого КЭ; построение канонических уравнений; решение канонических уравнений и определение значений узловых неизвестных; определение компонентов напряженно-деформированного состояния (перемеш;ений, напряжений) по области элемента и всей системы.

Расчленение системы на конечные элементы - задача по своей сути близкая к нанесению расчетной сетки в методе конечных разностей или в вариационно-разностном методе. Здесь необходимо удовлетворить двум противоречивым требованиям: точности расчета, которая требует большего количества расчетных узлов (большей густоты расчетной сетки), и практическому решению задачи, которое накладывает ограничение на число решаемых уравнений типа (2.7), а следовательно, и на число расчетных узлов.

Построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой осуществляется по формулам (2.8) и (2.9). В простейших случаях элементы матриц получаются в автоматическом виде на основе

интегрирования (2.8, 2.9) в общем виде. Для более сложных случаев выражения базисных функций интегрирования производится численными методами.

Для составления канонических уравнений используются формулы (2.7). Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений. Так как число узловых неизвестных при решении сложных задач может достигать многих сотен тысяч, то это вьфастает в одну из основных проблем МКЭ, впрочем, как и для всякого численного метода. Более подробно эта проблема будет рассмотрена в главе 3. В результате решения системы линейных уравнений определяются значения узловых неизвестных. По найденному вектору узловых неизвестных q и системе базисных функций которая была назначена заранее, определяется функция перемещений (2.4) по всей области системы, а по ней - напряжения и деформации в интересующих исследователя местах.

Описанная процедура достаточно традиционна и совершенно инвариантна к классу рассчитываемых конструкций. Исключением является процедура составления матрицы жесткости, которая обусловлена типом выбранных базисных функций и зависит от записи выражения потенциальной энергии системы, т.е. вида матриц Д 5, векторов о; 6; и. Поэтому дальнейшее рассмотрение применения МКЭ к различным классам линейных задач будет сводиться к описанию матриц D и В и векторов сг, е, W, а также к краткому описанию базисных функций.

Стержневые системы. Введение гипотезы плоских сечений дает возможность описать напряженно-деформированное состояние стержня в рамках одномерной задачи. Выражение для потенциальной энергии стержневой системы имеет вид:

П = Md - + м„ ; + +N

2i ах - dx dx dx

n где:

dn, (2.21)

М~ El, > ~ 2 ~ /c ~ моменты, действующие

- дх дх

в сечении относительно осей х, у, z;

N - EF - нормальная сила в сечении;

Ux, Щь Щ - перемещения вдоль осей х, у, z;

угловое (крутильное) перемещение относительно оси х;

Для аппроксимации этих перемещений используются выражения:

и^= XxUyx+XrUxT

u, = XyU,i+X4-U,2 + X5Ur + Xe-uf

U, = XyU,iX4U,2X5WXeU[=

(2.22)

где f/xi,f/x2,f/vi,t/v2,L/zi,L/z2 - неизвестные линейные перемещения узлов начала (1) и конца (2) стержня (рис. 2.6);

ui\U\ul-\U\ul\U2 - неизвестные угловые перемещения узлов начала и конца стержня (рис. 2.6).

у

Рис. 2.6

Xj, - линейные базисные функции;

X, =-(й-х); X, =а~\х

Х^,Х^, , - балочные базисные функции:

X, = а~ [Ix ~Зах~ +а'] Х^ ~а~(ix ~Зах' \ (х' - 2ах + а\х} X, - й (х^ - ах ]

(2.23)

(2.24)

Используя выражение для потенциальной энергии (2.21) и принятую аппроксимацию (2.22), по формуле (2.8) строится матрица жесткости стержня (табл. 2.3). Интегрирование ведется по одномерной области с пределами О, а (см. рис. 2.6).

В табл. 2.3 принято:

Й Й (3 Й Й

Таблица 2.3

U,(x)

V,(y)

U2(XJ

<J2(y)

Степени свободы уУ уУ Узловые усилия

4i<)

RMxi

RMv,

RMz,

Симметрично

RMx.

RMv.

RMz.

Хотя данная матрица содержится во всех учебниках по строительной механике стержневых систем, здесь она приводится как пример построения МЖ аналитическими методами в явном виде. Величины к\-к\{) - значения узловых усилий от соответствующих единичных значений узловых неизвестных. В строительной механике стержневых систем узловые усилия определяются как реакции концов стержня от единичных перемещений его концов.

Так как аппроксимация всех членов вектора и независима, то из матрицы жесткости для общего случая (см. табл. 2.3) легко получить матрицы жесткости для различных частных случаев:

1) для шарнирного (ферменного) стержня элементы: строки узловых усилий - R\, Ri\

графы узловых перемещений - quqi\ элементы матрицы жесткости ~ ц, п, kif

2) для изгибаемого стержня (элемент ростверка в плоскости XOY) элементы:

строки узловых усилий - 7?з, /?4, Rs, Rgj R\o, ь графы узловых перемещений - з, 4, 5, qg, ю, qwl элементы матрицы жесткости - 33, ks, кз% кзи, к^, /:4io, kss, ks%

к$\\, кд% 911, 10!0з ть

3) ДЛЯ сжато (растянуто)-изгибаемого стержня (элемент рамной стержневой системы в плоскости XOZ) элементы: строки узловых усилий - R\, /?з, /?5,7?7, /?9, 7?11; графы узловых перемещений -д\,дз, дз Яч, q%q\\-, элементы матрицы жесткости - k\\,k\i, 33, /С35, 39, 311, /[55,

kji, kiio, Aim.

Бачки-стенки (плоское напряженное состояние). Теория плоского напряженного состояния основана на гипотезе, допускающей отсутствие напряжений, нормальных к серединной плоскости пластинки.

Вектор перемещений w, вектор деформаций вектор напряжений сг, вектор внешней нагрузки / выражение для потенциальной энергии, матрица дифференцирования В и матрица упругости D имеют вид:

и ={и^,и^)\ -(,.,/.); а' =(а^ а^.,г^,.); f -(/? /?,);

д
	д
	ду>
д	д

1-И	\-v-
\-v~

ES 2(1 -b V)

(2.25)

где u, Uy, px, pv - перемещения и внешняя нагрузка по направлению осей х,у; v- модуль упругости и коэффипиент Пуассона, S - толщина.

Для решения задач плоского напряженного состояния наиболее употребительны треугольный и прямоугольный конечные элементы, имеющие по два линейных неизвестных перемещения узле и независимую аппроксимацию перемещений и^ и Uy с помощью линейных и полилинейных базисных фзшкций.

Процедура получения матрицы жесткости в явном виде для этих элементов особых трудностей не представляет. Эта матрица приведена во многих книгах по МКЭ, например, в [2.7, 2.18]. Часто используются также четырехугольные конечные элементы, для которых получить матрицу жесткости в явном виде затруднительно и для ее построения применяется численное интегрирование.

Изгибаемые плиты. Теория тонких изгибаемых плит основана на гипотезе Кирхгофа о прямых нормалях к срединной поверхности пластины и пренебрежимо малом напряжении, перпендикулярном к той же поверхности. Выражение для потенциальной энергии системы:

я = - V JQ = - Y D [Вы. )dn.

(2.26)

где Lij - перемещения, ортогональные срединной поверхности, для плит эти перемещения часто обозначаются w; s - вектор обобщенных деформаций (в данном случае кривизны); а - вектор обобщенных напряжений (в данном случае моментов).

Векторы £, avL матрицы 5, D имеют вид:

12(l-v)

О 2(1-v)

О О

О

О

(2.27)

Наиболее употребительными конечными элементами являются треугольные, прямоугольные и четырехугольные конечные элементы с тремя узловыми неизвестными в узле (вертикальное перемещение и два угла поворота). Базисные функции достаточно сложны [2.1].

Гипотезы Кирхгофа предполагают, в частности, что и^ = ди.

li-- . Отказ от этих предположений приводит к теории толстых

ди. {.л ди. (Л

отличны от нуля, вх-~ ~ ,ev-- ~ -и ,

дх dv

потенциальной энергии (2.26) добавляется слагаемое

изгибаемых плит Рейснера. Тогда сдвиговые деформации и £,.

и в выражении для

Все деформации и усилия, входящие в формулу (2.26), выражаются через первые производные функций г/г, i и it.

Для их аппроксимации возможно использование тех же аппроксимирующих функций, что и для балок-стенок.

Оболочечные системы. Оболочки двоякой кривизны - один из самых сложных объектов строительной механики. Это вызвано сложными геометрическими и физическими соотношениями для оболочек. Приведем векторы напряжений а и деформаций £ построенные на основе технической теории пологих оболочек. Вектор £ состоит из шести компонентов:

= , +к^, е^= +к,и^, е^= + +2 м - деформации сх д} ду дх

срединной поверхности;

дх ду ~ дхду

Х,= { . Ху = 2 , = - деформации кривизны.

, dz , dz , az В этих выражениях А:, = = , ; л = - кривизны

дх ду~ дхд}

оболочки, характеризующие ее геометрию.

Вектор напряжений (усилий) также состоит из шести компонентов: Eh ( \ лг Eh ( \ Eh

- (l-l/2)V v ,. (l .2)V, w 2(l + v)

погонные напряжения;

= 12(l-v* =12(l-v)- )

M = r, - погонные моменты.

12(1-)

Здесь /г ~ толщина оболочки; v- модуль упругости и коэффициент Пуассона.

Для оболочки вектор перемещений ы состоит из компонентов ы^, iiz,

С учетом принятых обозначений и соотношений выражение для полной потенциальной энергии тонкой оболочки примет вид:

1{и) \ \а'8 dCL = 1(ns + /V.,. -ь 5 . + М,;, -ь М^.;, + 2М, )./а (2.28)

2 Я

п а

Матрицы жесткости КЭ имеющих двоякую кривизну по области элемента и построенных на основе приведенных выше зависимостей характерных для технической теории тонких оболочек не свободных от жесткого смещения. Так в [2.19] приведена характерная для этого случая матрица жесткости прямоугольного КЭ оболочки имеющей положительную Гауссову кривизну. При придании узлам этого КЭ перемещений обуславливающих простое перемещение этого элемента в пространстве (например, всем четырем узлам сообщается вертикальное перемещение, равное единице) в КЭ появляются деформации, что противоречит здравому смыслу. Наиболее действенным приемом

устраняющим это нежелательный эффект является замена криволинейной поверхности оболочки - многогранником. В работе [2.20] и приложении 1 доказана правомерность такой замены. В этом случае матрица жесткости треугольного, прямоугольного, четырехугольного конечного элемента оболочки будут представлять собой комбинацию КЭ плоского напряженного состояния и изгибаемой плиты.

Массивные конструкции (трехмерное напряженное состояние). При расчете массивных тел методом конечных элементов используются зависимости для трехмерного напряженного состояния. Эти зависимости являются наиболее общими, так как свободны от различных гипотез и предпосылок, характерных для некоторых частных задач (гипотезы плоских сечений для стержня, прямых нормалей для изгибаемых пластин, о нулевых напряжениях, ортогональных плоскости системы, для плоского напряженного состояния и т.п.).

Выражение потенциальной энергии для трехмерного напряженного состояния имеет вид:

(2.29)

где и - вектор перемещений; е - вектор деформаций; сг - вектор напряжений; В - матрица дифференцирования; D - матрица упругости.

и = {и^ ,11 у,и,У, £ = {£ £у, , 7,у, У , У у, );

д

дх о

о

в

8у О

д

где Л =

О

О

д

д

Bz О

О О

о

д

д

дх. vE

)(1-2.)

Л+ 23
Я	я+ 2,9
Я	Я	Х + 29

2{l + vy

Для решения задач трехмерного напряженного состояния наиболее употребительны конечные элементы в форме четырехугольника

(тетраэдра), шестигранника (призмы), восьмигранника (параллелепипеда), имеющие по три неизвестных узловых перемешения в узле и полилинейную аппроксимацию перемещений Ux, и-.

Матрицы жесткости таких элементов приведены в ряде публикаций, например в [2.1, 2.7, 2Л8\

Другие типы конструкций. Рассмотренные выше типы конструкций с точки зрения применения для их расчета и исследования МКЭ, далеко не исчерпывают встречающиеся в практике инженера типы. Это и конструкции на упругом основании, и многослойные анизотропные пластины, и толстые плиты, оболочки и мн. др.

Во всех этих случаях приемы построения и исследования КЭ, рассмотренные выше могут оказаться полезными или применяться с небольшими дополнениями. Так при построении КЭ плит на упругом основании, в случае если используется клавишная модель Винклера или Пастернака можно применить рассмотренные конечные элементы плиты и эти же базисные функции использовать для построения КЭ упругого основания [2.21 ]. Для анизотропных пластин можно использовать соответствующие базисные функции и набор узловых неизвестных, заменив только вид матрицы D. Для толстых и многослойных пластин набор узловых неизвестных необходимо несколько расширить, чтобы учесть дополнительные факторы сдвига, наклона нормалей и др., хотя вышеприведенные приемы построения КЭ можно использовать и в этих случаях.

2.6 Применение МКЭ для решения нелинейных задач

Нелинейным задачам (нелинейная упругость, геометрическая нелинейность и другие) соответствует уравнение равновесия: A(u)=f

Вид нелинейного дифференциального оператора А определяется исследуемой задачей.

Например, для нелинейного упругого сжато растянутого стержня с зоеисгшостъю между напряжениями и деформациями вида Ст{£)-К{ - е оператор А(и) имеет вид:

A{u) = -[RF[x-e-l

где а-/а, Е - начальный модуль упругости, R - предельное напряжение, £ = .

Для геометрически нелинейного элемента (нить) оператор А(и) имеет вид:

1 2 3 4 5 6 7 8 ... 34