Главная » Книжные издания

1 ... 3 4 5 6 7 8 9 ... 34

d dx

du, dx ,

du. dx du,

dx ) )

r 1 Л

Ниже изложение всех методов решения нелинейных задач проводится на основе применения МКЭ, поэтому приведем вариационную постановку задачи, т.е. как и в линейном случае используем принцип возможных перемещений. Рассмотрим функционалы возможных работ внутренних и внешних сил

a{u,v)\A{}i\v(Kl, (/,v)-J/.vJQ (2.31)

где vgH - возможное перемещение.

Эти функционалы линейны по переменной v.

При исследовании и решении задачи используется принцип возможных перемещений: решение и удовлетворяет при всех v g Н равенству

a{u,v){f,v) (2.32)

Решение задачи (2.32) МКЭ ищем, как и в линейном случае, в виде:

(2.33)

Поставив в (2.32), получим нелинейную систему уравнений относительно узловых неизвестных qi.

В [2.30, 2.31, 2.32] показано, что если оператор А(и) удовлетворяет условию строгой монотонности

aiuu -u)-a{u,U2 -u)>ku2 -и^ (2.35)

то для сходимости МКЭ базисные функции должны удовлетворять тем же требованиям, что и в линейном случае. Условие (2.35) в физическом смысле означает увеличение энергии при увеличении перемещений. Обозначим a(w,v, w) производную функционала aiuv) по ы, т.е.

а'{и, V, iv) - а{и + w, v) iv g H dt

(2.36)

где также как и v - возможные перемегцения.

Условие строгой монотонности (2.35) выполнено, если функционал a{u,v,\v) положительно определен, т.е. для всех vgH справедливо неравенство

a{u,v,\v)>kv\ (2.37)

Неравенства (2.35, 2.36) справедливы, как показано в [2.30, 2.31, 2.32], для физически нелинейных задач и геометрически нелинейных задач в докритической стадии.

При выполнении неравенств (2.35) или (2.37) оценки погрешности МКЭ справедливы при тех же условиях на базисные функции, что и для соответствующей линейной задачи.

Отметим, что неравенства (2.35) или (2.37) являются также [2.30, 2.31, 2.32] и достаточными условиями существования и единственности решения задачи (2.32).

Приближенные методы решения нелинейных уравнений (2.32) или (2.34) основаны на построении последовательности линейных задач и используют производную a{u,v,w).

Подставив перемещения щ в a{u,v,w), получим формулы для линеаризованной матрицы жесткости

Kj-a\u (p,(p.) (2.38)

Здесь под щ подразумевается приближенное решение, полученное на предыдущем шаге (итерации).

Выражение (2.38) можно получить, дифференцируя a[uf,(Pi) по

т.е. дискретизацию a{u,v) на основе МКЭ и линеаризацию задачи можно производить в любом порядке.

Например, для нелинейного упругого сжато-растянутого закрепленного слева стержня с зависимостью = R{) - ) функционал возможной работы внутренних сил

имеет вид: 0{б^ = R

]-е

dv 1

dx, где а = ER

dv dw

Вычислив его производную по и получим: а \и, v,\v) = Ьг е dx их.

dx dx

X XX

Полагая и^ - Я2 (дискретизация), ~ / ~ / получим

f{ \ EF е I

-е I

Выполнив сначала дискретизацию, получим Cl{u ? ) - RF Продифференцировав по Ц2, получим то же выражение для С1*{и^, v, w).

2.7 Решение систем нелинейных уравнений

Все методы, рассматриваемые ниже, основаны на линеаризации нелинейных уравнений, т.е. поиск решения нелинейных уравнений осуществляется решением рекуррентной последовательности линейных.

Если исходные уравнения задаются алгоритмически, то имеется возможность составить алгоритм построения линеаризованных уравнений. Некоторые рассматриваемые ниже методы часто применяются для решения нелинейных задач (метод упругих решений, метод переменных параметров, метод последовательных нагружений).

Некоторые из них сравнительно мало известны (метод последовательных жесткостей), хотя в ряде случаев достаточно эффективны. Для каждого метода приводится схема процесса приближений, физический смысл, приложение этой схемы к разрешающим уравнениям МКЭ, геометрическая интерпретация процесса приближений для одномерного случая. Доказательства сходимости (а для метода последовательных нагружений - оценка погрешности) приводятся в Приложении 1.

Метод упругих решений. Он применялся в работах многих авторов и является самым распространенным для решения физически нелинейных задач.

Схема итерационного процесса для метода упругих решений выглядит следующим образом: a{u,A u,v) = {f,v)-a{u, v) (2.39)

где а - линейный оператор рассматриваемой системы, если считать, что она линейно деформируема и имеет модуль упругости и^->п приближенные значения разрешающей функции на /1+1 и п этапах итерационного процесса,

Д и =0.

Для одномерного случая

итерационный процесс допускает геометрическую интерпретацию (рис. 2.7).

В математике аналогом этого метода служит модифицированный метод Ньютона. В физическом смысле метод упругих решений означает итерационный поиск таких дополнительных компенсирующих

Рис. 2.7

нагрузок, которые сообгцают линейно деформируемому телу перемещения, равные перемещениям нелинейного тела под заданную нагрузку. В связи с этим метод часто называют методом компенсирующих нагрузок. Жесткостные характеристики, обусловливающие оператор а \ назначаются заранее. Как правило, начальный модуль деформации Е{), который определяет а \ назначается для состояния, когда отсутствуют напряжения и деформации, т.е.

д

Метод переломных параметров. Считается, что для задач строительной механики этот метод был впервые предложен Биргером. В математике он известен как метод секущих. Применяется, если функционал a{u,v) можно записать в виде

a{u,v) = b{ii,u,v).

где b{u,u,v) линеен по второму и третьему переменным. Схема итерационного процесса имеет вид:

Для одномерного случая итерационный процесс (2.40) допускает геометрическую интерпретацию (рис. 2.8).

В физическом смысле метод переменных параметров означает итерационный поиск такой линейно упругой системы (линейный оператор Ьп соответствует модулю который, естественно, переменен по области О), которая под заданную нагрузку / имеет такие же перемещения, как и нелинейно деформируемая

(2.40)

			1---►

Рис.2.8

система (нелинейный оператор а). Начальный линейный оператор bo

соответствует

/о

/О

= 0.

Метод

касательных

		>
			-►

и

Ркс. 2.9

модулей. Метод имеет следующую вычислительную схему:

a{u ,L u,v) = {f,v)-a{u ,v) (2.41)

Математическим аналогом метода касательных модулей является метод Ньютона-Рафсона-Канторовича. Для

одномерного случая итерационный процесс (2.41) допускает геометрическую интерпретацию (рис. 2.9).

Шаговые методы. Многочисленные модификации шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в прикладной математике метода дифференцирования по параметру [методы продолжения] (об истории вопроса этих очень распространенных методов достаточно полно написано в работе [2.24]). Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому, в [2.25]. В [2.26] метод дифференцирования по параметру применен к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [2.28, 2.29, 2.30] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики.

Метоб последовательных жесткостей. Метод заключается в том, что на основе нелинейного оператора задачи А образуется нелинейный оператор (А таким образом, чтобы при tA=A. Процесс начинается с того, что находится значение, для которого можно решить систему

tAu - f. Дальнейший расчет производится поэтапным изменением t от до 1. Вычислительная схема имеет вид:

t,,a\u, u,v)={f,v)-t a{u ,v) (2.42)

Процесс продолжается до тех пор, пока / не станет равным 1. Величины At необходимо принимать такими, чтобы пренебрежение

высшими степенями Д^, (/>1)не превышало заданную точность решения

задачи. В физическом смысле этот процесс можно трактовать как постепенное изменение жесткости системы. Сначала жесткость системы назначается настолько большой (/о 1), чтобы под заданную нагрузку/ работа системы была близка к линейной, тогда щ найдется из

уравнения foto о^ ) (/ ) -

Для одномерного случая итерационный процесс (2.42) допускает геометрическую р^ 2 Ю

интерпретацию (рис. 2.10).

Простая модификация метода последовательных нагружений. Она имеет следующую вычислительную схему:

a{u ,A u,v)AXf,v) (2.43)

где в- набор коэффициентов к нагрузке, изменяющихся от О до 1.

В физическом смысле этот процесс можно трактовать как постепенное увеличение нагрузки, начинающееся от О и заканчивающееся заданным/

Геометрическая интерпретация для одномерного случая представлена на рис. 2.11.

Метод последовательных

нагружений с учетом нагрузочных Р^- 2-11

невязок. Этот метод имеет следующую вычислительную схему:

а'{и„, Д г/, v) = . (/, у) - а{и„, v) (2.44)

Геометрическая интерпретация метода для одномерного случая приведена на рис. 2.12.

Другие модификации шаговых методов. Большинство

модификаций шаговых методов связано с уточнением решения на каждом или на последующих шагах. Для этого используется комбинация простого (или с учетом невязки) метода Ньютона (метод касательных модулей) или модифицированным методом Ньютона (метод упругих решений).

В работе [2.7] кроме всех выше рассмотренных методов, для которых производится геометрическая и физическая интерпретация, доказательства сходимости и рассмотрение условий обеспечивающих сходимость, оценка погрешности, обсуждается также достаточно эффективный метод одного параметра, использующий идеи метода скорейшего спуска, однако не находящий широкого применения ввиду трудностей реализации. Вместе с тем, шаговые методы нашли очень широкое применение, и это, наряду с достаточно легкой реализацией объясняется также возможностью организации компьютерного моделирования процесса нагружения (2.43), (2.44) или процесса изменения напряженно-деформированного состояния конструкции во времени (2.42), вызванного такими факторами как ползучесть.

Конечно-элементная реализация. Элементы кц линеаризованных матриц жесткости для перечисленных методов вычисляются по формулам kl=.a\u cp (p) (2.45)

где uf - решение, полученное на предьщущем шаге.

Рис. 2.12

Элементы векторов правых частей (приведение местной нагрузки к узловой /. и отпоров Qj) вычисляется по формулам

/.=(/,,) а^=а[и„, <р,) (2.46)

Рассмотренные методы, конечно, очень условно можно разделить на два класса: итерационные и прямые. К первым можно отнести первые три метода. Их характерная черта - известна точность решения, которая задается, но неизвестно количество вычислений (итераций), которые понадобятся, чтобы достичь заданную точность. Последние четыре (модификации шаговых) можно назвать прямыми, так как, заранее известно количество вычислений, но неизвестно, какая будет достигнута точность.

Определение области применения того или иного метода зависит от целого ряда причин. Линеаризация уравнений, по сути, включает две процедуры: процедура А (2.45) - составление линеаризованной матрицы жесткости всей системы по результатам предыдушего этапа, процедура В (2.46) - определение отпора нелинейной системы, который соответствует перемещениям, найденным на предыдущем этапе. Рассмотренные методы включают либо одну из этих двух процедур, либо обе. Поэтому использование того или иного метода будет обусловлено трудоемкостью алгоритмизации и быстродействием той или иной процедуры (это зависит от нелинейного оператора задачи, вида конечных элементов, внешней нагрузки и т.п.).

При необходимости только решения нелинейной задачи, т.е. определения напряженно-деформированного состояния, соответствующего заданной нагрузке, предпочтение следует отдавать итерационным методам. При этом если затруднена процедура то нужно использовать метод упругих решений, если затруднена процедура В - метод переменных параметров, если же обе процедуры реализуются достаточно просто-метод касательных модулей (случаи, где этот метод не сходится, обсуждаются в разделе 2.9).

При необходимости проведения математического моделирования процесса нагружения используются шаговые методы. Все они предусматривают обязательное применение процедуры^. Если реализация процедуры В затруднена, нужно использовать простую модификацию метода последовательных нагружений. Если же доступна реализация обеих процедзф, следует использовать метод последовательных нагружений с уточнением нагрузочной невязки для моделирования процесса нагружения либо метод последовательных жесткостей для моделирования изменения состояния конструкции во времени. В дальнейшем при рассмотрении различных типов нелинейных задач будет обсуждаться целесообразность применения того или иного метода решения нелинейных уравнений.

2.8 Физическая нелинейность

Нелинейность дифференциальных разрешающих уравнений МКЭ обусловлена нелинейной зависимостью о=а{г). Здесь рассматривается физическая нелинейность в рамках нелинейной теории упругости.

Процедуру решения физически нелинейной задачи на основе вышеизложенных методов покажем на простом примере (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Рассматривается стержень тощадью поперечного сечения F с зависимостью О'() = - Bs~ . о < 2В < 1. Левый конец стержня закреплен. К правому концу

стерлсня (узел 2) пргшсжена сосредоточенная сила Р. Решая эту задачу но основе МКЭ,

eecsle.vi два узловых неизвестных qj, q2 (лгшейные перемещения узла I и 2).

Для аппроксимации перемещений щ используем линейные базисные функ1(ииХ] и Xj, т.е.

/ - X X

Если левый конец стержня закреплен, а к правому приложена сосредоточенная сила Р, то действительное и и возможное v перемещения представляются в виде

L. It

Функционал воз.можной работы внутренних сил имеет вид:

dx = Fa

ч / .

, нелинейное уравнение МКЭ тогда записывается

Р = 0

В случае зависимости (t{s) = e{s - Be) {2В < l) получаем уравнение относительно

В , Чг - Яг

Р = 0

Производная по д^, соответствующая функционалу a{u,v,\v), имеет вид

I \ I J

Таким образом, на основе МКЭ нелинейная задача сводится к решению нелинейного алгебраического уравнения (системе нелинейных уравнений). Если зависимость а(£)

представляется в трансцендентном виде, например. <у{£)-r{[ -е^, то на основе МКЭ получим систему трансцендентных уравнений, для данного случая:

\-е

+ Р = 0.

При решении нелинейных алгебраических (трансцендентных) уравнений методом, основанным на линеаризации (см. Раздел 2.7), используются производные по q,

соответствуюгцые функционалу a{u,v., w), для рассматриваемого случая а {u,v,w)= 1-2 qj

Для шагового метода линеаризованное уравнение на п шаге имеет вид

В Л EF ( В

-линеаризованный член

матрицы канонических уравнений, так как q-y

известно из предыдущего шага

расчета, А„(?2 скомое приращение q на п шаге, А^Р - приращение нагруз::и. Для следующего п+1 шага q2 определяется по формуле q - 2 п

В рассмотренном выше примере функция а(г) непрерывно дифференцируема, в таких случаях применение шагового метода, как правило, дает хорошие результаты. При кусочно-линейной функции а(8) (например, диаграмма Прандтля) целесообразно применять модифицированный метод Ньютона. Здесь для наглядности применения МКЭ к физически нелинейным задачам было рассмотрено на примере стержня. Более сложные случаи для пластинчатых систем рассмотрены в Приложении 1.

2.9 Геометрическая нелинейность

В геометрически нелинейных задачах нелинейной является зависимость между перемещениями и деформациями, кроме того, при применении принципа возможных перемещений необходимо учитывать изменение геометрии. Например, для сжатого (растянутого) стержня используется зависимость

(2.47)

Функционал возможной работы а{и, v) имеет вид

a{u,v) =

oL V

1 Л

для его производной получим

(2.48)

(2.49)

где .V = EF\u\ + {и\ При учете изгибных деформаций выражения (2.47, 2.48, 2.49) примут

(2.47а)

а

ЕР < + ; г к + <<.)+ Р^У[ (2-48а)

I I I

a{u.v,Yj) +w>/>/x+ JNvMx-h £/у>Ух (2.49г)

о 0 0

где Ux - перемещение вдоль оси стержня;

ги - перемещение ортогональное оси стержня; Z - расстояние от нейтральной оси стержня до рассматриваемого волокна;

и = - деформация кривизны.

1 ... 3 4 5 6 7 8 9 ... 34