Главная » Книжные издания

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 ... 34

Рассмотрим простейший пример (рис. 2.14) - шарнирный растянутый стержень е г ео.метрически нелинейной постановке 9 Р

Система имеет одно узловое неизвестное -вертикальное перемещение, поэтому щ=0 и из

(2.47) следует, что. £~2 (1) -

Решая эту задачу на основе МКЭ перемещения

и- пруедставляем в виде: s{ii)= , s[v) =

Рис. 2.14

Функционал возможной работы внутренних сил:

Нелинейное уравнение МКЭ тогда записывается следующим, образом:

г Л2

у / у

+ Р = 0

Производная по cj. соответствующая a(ll, V, Н') вычисляется по формуле:

+-, N = -EF I 2

Для простой модификации шагового метода на п шаге линеаризованное уравнение (2.43) имеет вид

A2=A P и N = EF

<дс q2,n - Значение узлового неизвестного, найденное на п шаге. Значение g.n+i находится по формуле q2.,i+i Q2.n~AiQ2..

Здесь, как и для физической нелинейности рассмотрена простейшая задача для стержней. Общие постановки физически и геометрически нелинейных задач, включая пластинчатые и трехмерные элементы, даны в Приложении 1.

ill- i л- i

Существует достаточно распространенное мнение, что метод Ныотона-Рафсона (2.41) наиболее эффективен и позволяет решать нелинейные задачи с наименьшим количеством вычислений. Ниже на ьфостейшем примере покажем, что в ряде часто встречающихся на

практике случаев применение 1/> этого метода не приводит к

нужному результату.

Рассмотрим задачу расчета стержня в физически и геометрически нелинейной постановке {рис. 2.15). Длины отрезков АС и ВС равны I, начальное провисание CD - 0.1 м. точки А и В закреплены, точка С вследствие симметргш имеет только вертикачьное перемещение u~ значение которого для упрощения преобразований отсчитывается от точки D, т.е. начальное значение перемещения и-0=0,1.

Обозначим l(u-) блину деформированного отрезка нити, l{l{ = 0,99 +г/3 , тогда деформация нити £ = /(w, )- 1 -

Нелинейную зависимость между напряжениями сг и деформациями примем в виде (рис. 2.16)

Е£ при £ <

Рис. 2.15

-r£} при 99 <

В точке С действует вниз сила P=0,002EF, где F - плогиадь сечения нити.

Продольное усилие в отрезках нити АС и ВС равно

Проектируя его иа вертикальную ось, получим уравнение ршвновесия

2N ч - -Р. откхда. сокрштив на 2EF, находим а-\£{и^У) . ~ 0,001.

Рис. 2.16

Для построения уравнения мет.одо.м Ньютона вычислим производную функции

Поскольку Г(и.) = £\и.) = ч , получгш

Ярг/ г/ - и^дз = ОД . имеем siu. ) = О, )) - = О, = 1 \

следовательно f{ll, q ) = О, f{il, q ) = 0,01.

Применяя метод Ньюнгона или модифицщюванный мепюд Ньютона, получим /tr.oXz,! -о) 0,001. о/жуЭа [u -и ,з)=0,01, W , =0,2.

й следующем таге имеем l{u j ) = /(0,2) = 1,03 , {и^, ) - 1,03 - I > дд-

Поэтому

aifiu)) = а-(б(0,2)) = 0,01 /(0,2), f{u.) = 0,01 w , = 0,002, ,)) = 0,01,

0,01 ;Г; .+0,01 . 0,01

Таким, образом, f{u.y)-f*{uY уюэтому уравнения лгетода Ньютона и

модифиииробанного метода Ньютона для второго шага совпадают. Получим

0,Ol(i/, 2 - i/ ) = 0,001 - )) = -0,001, следовательно

т - I = -0,1 и и. 2 = 0,1 = и. Q, т,е, после вторюй интеграции метод зациклился.

Таким- образом, для рассмотренной задачи метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона не могут привести к решению. Применение же шагового метода позволяет решить указанную задачу.

Рис.2.17

Если рассмотреть схему, представленную на рис. 2,17 а (ферма Мизеса, по сути относительно горизонтальной оси она зеркальна схеме на рис, 2,16), то для нее зависимость между стой Р и перемещением qj будет иметь вид представленный на рис, 2.17 б и для решения этой задачи шаговый метод не приведет к решению. В [2,23] предложен .метод, который для систем с несколькими неизвестными дает возможность решать задачи такого кчасса (когда имеется нисходящая ветвь). Тем не менее, пока вопрос о решении реальных задач остается открытым.

2Л0 Устойчивость

Задачи устойчивости тесно связаны с геометрически нелинейными задачами.

Конструкция устойчива при перемещении и, если справедливо условие [2.22] положительной определенности (2.37). При применении шагового метода условие (2.37) означает положительную определенность матрицы линеаризованной системы уравнений.

Условием положительной определенности симметричной матрицы является, согласно критерию Сильвестра, положительность всех ее главных миноров, что проверяется в ходе исключения неизвестных методом Гаусса. Такой подход позволяет исследовать устойчивость и при учете в геометрической нелинейной и физической нелинейности одновременно.

Изложенный метод исследования устойчивости называют устойчивость деформированной схемы.

Для многих задач достаточно исследовать устойчивость недеформированной схемы. В этом случае в выражении (2.49а) для стержня пренебрегают слагаемыми t/v и ww4, которые и определяют деформированное положение. Величины продольных сил N находятся из решения линейной статической задачи. Требуется отыскать наименьшее положительное число к - коэффициент запаса, при котором функционал

(v, w) = {EF v[w[ + EJv[ w[ )dx + Л JTVw[dx - 0, (2.50)

перестает быть положительно определенным.

Функция V, удовлетворяющая при всех w равенству а^ (v, w) ~ О,

называется первой формой потери устойчивости.

Она удовлетворяет известному дифференциальному уравнению

Таким образом, задача устойчивости недеформированной схемы - это задача на собственные значения. Применение МКЭ сводит дифференциальную задачу к задаче на собственные значения для матриц kv-lkjv О,

где к - матрица жесткости, соответствующая для стержня функционалу

(V, w) ~ {EF v[ + EJ v w[)б/х матрица k соответствует о

функционалу

6ir,(v,w)- , ее называют геометрической матрицей

о

жесткости.

Выше рассматривалась задача устойчивости для стержней. Для пластинчатых систем (оболочки) эта задача рассмотрена в Приложении 1.

Выше в разделе 2.4 уже отмечалось, что МКЭ при использовании базисных функций типа ХхХг (2.23) и Хз-б (2.24) дает точное решение

только для дифференциального оператора А типа EF / и EF

дх~ дх

В остальных случаях (наличие упругого основания, предварительного натяжения, физической и геометрической нелинейности) МКЭ дает приближенное решение и для уточнения решения необходимо сгущать сетку (дробить стержень между основными узлами схемы, т.е. вводить

промежуточные узлы). Такой подход

необходимо использовать для задач z -\

устойчивости. Так при решении задачи устойчивости стержня (рис. 2.18) с - использованием МКЭ необходимо

вводить промежуточные узлы.

Задача подобного типа дана как верификационный пример в Приложении 2, там же приводится ряд задач устойчивости для пластинчатых систем.

2-11 Односторонние связи. Трение

Задачи с односторонними связями, как правило, описываются кусочно-линейными зависимостями о(£).

В этом смысле задачи с односторонними связями примыкают к физически-нелинейным задачам, с той лишь разницей, что нелинейность обусловлена не свойствами материала, а конструктивными особенностями, т.е. конструктивной нелинейностью.

Наиболее простые и вместе с тем наиболее характерные зависимости а{£) представлены на рис. 2.19.

б) л..

Рис. 2.19

а) связь, работающая только на растяжение (подвеска);

б) связь, работающая только на сжатие (подпорка);

в) связь, работающая только на растяжение после выборки зазора А (невесомая провисшая ванта).

г) связь, работающая только на сжатие после выборки зазора А (часть фундамента, имеющая зазор между подошвой и грунтовым основанием).

Характерной особенностью таких зависимостей (аналогично диаграмме Прандтля) является наличие разрыва производной сг() в точках перелома. В связи с этим шаговый метод здесь неприменим.

Для решения подобных задач часто используется метод Рабиновича (аналог метода секущих, см. Раздел 2.7).

Однако можно привести много задач (например, [2.33]), когда этот алгоритм зацикливается или приводит к расчету геометрически изменяемой системы, т.е. не приводит к искомому результату.

Универсальный метод решения задач* с односторонними связями описан в Приложении 1, а в Приложении 2 приведены примеры решения задач с односторонними связями, в том числе и тех, для которых метод Рабиновича не сходится.

При решении большинства задач с односторонними связями имеется простой метод проверки правильности полученного решения: правильно работающие односторонние связи сохраняются, неправильно работающие - удаляются и решается линейная задача. Результаты расчета обеих схем должны совпадать.

* Этот метод реализован в ПК ЛИРА и позволяет рассчитывать все без исключения конструкции с односторонними связями, в том числе и те, для которых метод Рабиновича расходится.

Однако гшеется простой, но трудно объяснимый пример, демонстрирующий, что эта проверка работает не всегда. В изображенной иа рисунке 2.20 системе вертикачьиые и горизонтальные стержни - линейные. Элемент 2-3 работает только на сжатие, элемент 1-4 - только на растяжение.

Под действием вертикальной нагрузки предложенный алгоритм покажет отклонение систачы влево, обе односторонние связи при этом выключаются из работы. Однако после их удаления горизонтальных перемещений, естественно, не будет.

Рис. 2.20

По физической трактовке, математической формулировке и методам решения к задачам с односторонними связями непосредственно примыкают задачи трения и сыпучих сред.

Закон трения Кулона записывается в виде

(2.51)

где ov и an ~ напряжения по касательной и нормали к поверхности (или линии) трения, А: ~ коэффициент трения и сыпучих сред.

Для сыпучих сред применяются различные условия, например, условие Кулона-Мора, которое в двумерном случае имеет вид:

СГг < - sin сто + < cos, (2.52)

где сгд- среднее напряжение, <р - угол внутреннего трения, с -сцепление.

В Приложении 1 дана математическая постановка задач трения и сыпучих сред, приведены условия существования и единственности решения, а также предложены и обоснованы приближенные методы решения этих нелинейных задач.

В литературе, посвященной анализу методов расчета строительных конструкций (например, [2.33]), высказывается мнение, что задачи упругости с трением исключительно сложны для строгого математического исследования. В подтверждение цитируется работа [2.34], в которой приведена задача с трением, имеющая неединственное решение. Отсюда делается вывод об отсутствии промышленных программ, решающих задачи с односторонними связями и трением, которые можно рекомендовать к широкому применению.

Подобного рода рассуждения способны ввести в заблуждение, как пользователей программной продукции, так и разработчиков. На самом деле все обстоит гораздо сложнее:

во-первых, пример приводимый в [2.34] очень неестественен, так как предполагает наличие конструктивного элемента, у которого диагональный член матрицы жесткости меньше побочного,

во-вторых, в работах [2.35, 2.36] доказаны условия существования и единственности решения для задач с трением.

В эти условия входят геометрическая неизменяемость системы при отсутствии связей с трением, фиксация последовательности приложения нагрузки, постоянство значения нормального напряжения (Т„ на поверхности контакта Последнее условие является достаточно жестким. Однако, доказательства [2.35, 2.36] не используют ряд свойств, характерных для реальных задач. Поэтому мы надеемся, что доказательство единственности будет получено и без последнего ограничения.

2.12 Динамика

Так как основным инструментом для решения задач механики в излагаемом материале выбран метод конечных элементов, основанный на вариационном принципе возможных перемещений, то задачу динамики сформулируем в виде

b{it\v)-\~a{u\v)+f{t,v) = О (2.53)

где b(u ,v) - ВОЗМОЖНЕЙ работа инерционных сил;

c(it\v) - возможная работа сил трения (демфер);

a(t/,v),y(,v) - аналогично статической задаче возможные

работы внутренних и внешних сил.

Перемещения и и внешняя сила/зависят от времени t. Уравнению (2.53) сопутствуют начальные условия t/(0)=w, u\Q)=u или условия периодичности u{Q)=u(J\ и Щ^и tT), где г/(Т) и г/ - заданные функции;

Т - период изменения внешней нагрузки.

Небольшое, но интересное отступление.

Положим 6 уравнении (2.53) v=u\ и воспользуемся очевидными равенствами

Ь(и\и) [ Ь{ы\и), Ф.и) = 1, а{и,и\ 2 dt 2 at

где b(u\u) и Cl(u и) ~ кинетическая и потенциальные энергии системы. 76

Обозначив через Щи) =--[b{liУ) + a{lt,u) полную энергию, получгш уравнение

энеругептческого баланса (2.37)

П(г/) + ф/,?/) + /(/,г^) = 0. (2.54)

Из уравнения энергетического баланса следует ряд очевидных с точки физического понимания задачи выводов:

В отсутствии сил трения (с(и', и)) уравнение (2.54) означает, что производная по времени полной энергии равна лющности внешних сил.

При отсутствии сил трения и внешних сил производная полной энергии равна нулю, следовательно, полная энергия постоянна, что соответствует незатухающгш свободным колебаншш.

При отсутствии внешней нагрузки и наличии трения производная полной энергии отрицательна, т.е. колебания затухают.

При периодических граничных условиях получаем 7z(u)=n(T), поэтому, проинтегрировав равенство (2.54) по t от О до Т, получим, что

т т

ciuai)dt+\f{t,u)dtQ, (2.55)

О о

т.е. работа сил трения за период компенсируется работой внешних сил.

Из равенства (2.55) следует также ограниченность решения задачи (2.53), с условиями

периодичности.

При отсутствии сил трения решение задачи с условиями периодичности может стать неограниченны.и - резонанс.

Эти рассуждения приведены только для того, чтобы продемонстрировать, как на основе элементарных математических преобразований можно получить очевидные (а иногда и неочевидные) с физической точки зрения результаты.

Решение уравнения (2.53) МКЭ ищем в виде

из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Одним из методов решения линейной динамической задачи является известный метод Фурье разложения по формам собственных колебаний. Тогда задача сводится для каждой формы щ„ к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, решения, которых во многих практически важных случаях (импульс, удар, периодическая нагрузка) получены в явном виде.

Для линейных и нелинейных динамических задач с начальными условиями применяются разностные схемы. Их исследование приведено в Приложении 1 для линейных динамических задач, задач вязко-упруго-пластичности, геометрически нелинейных задач и задач с наличием односторонних связей*. При построении разностной схемы назначается шаг по времени в и уравнения (2.53) записываются в точках t,n=Om заменой производных разностными отношениями

г,и - e{urnx-2u,n + Un.~\\ для и .

Из разложения в ряд Тейлора следует, что такие замены аппроксимируют исходное уравнение.

Приведем известный пример, демонстрирующий, что одного только условия аппроксимации недостаточно для того, чтобы разностная схема давала правильное решение.

Рассматривается обыкновенное линейное дифференциачьное уравнение первого порядка и'{1)г au(t) 0, а>0 с начальным условием u(0)=L Его региение u(t)=e~. Решение

этого уравнения можно искать по явной разностной схеме И^-- q и по неявной

в + оы,

в+аи, при начальном условии щ,-!. Для обеих схем получаем явные формулы:

Ыт+\ = яГ^ 5 q = l-aв - для явной схемы;

яТ^ + - для неявной.

Поскольку 0<q2<L неявная схема дает ограниченное положительное и стремящееся к

нулю при m-Gcрешение, что соответствует решению е .

Для явной схемы качественно правильные результаты получаем только при ав<1. При а6 = 1 получаем неправильныйрезулыпат и, !=0.

При 1<ав<2 последовательность qT еще ограничена, но знакопеременна, в частности,

при ад-2 получаем абсолютно неверный результат u =-(~lf\

При а6>2 последовательность qT только знакопеременна, но и не ограничена.

* В ПК ЛИРА реализована нелинейная динамика для односторонних связей, грунтов с условием Кулона-Мора и материалов с диаграммой Прандтля.

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 ... 34