Главная » Книжные издания

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 34

нетиповых операторов быстро возрастает, что зачастую становится непреодолимым препятствием для применения операторного способа.

Поэлементный способ возник при разработке программ расчета стержневых систем. Его суть заключается в последовательном просмотре всего списка элементов, из которых состоит исследуемый объект. Для каждого рассматриваемого элемента строится МЖ в местной системе, затем переводится в общую систему координат и в соответствии с номерами узлов (а значит, и перемещений), относящихся к этому элементу, рассылается в общую систему канонических уравнений. Такой способ совершенно безразличен к разнородности элементов, из которых набран исследуемый объект, что особенно важно при расчете комбинированных систем. При использовании этого метода удобно составлять всю систему уравнений сразу или отдельными группами, состоящими из t последовательно расположенных уравнений (если это обусловлено ограничениями памяти, методами решения уравнений или другими причинами).

Последовательность поэлементного способа составления матрицы коэффициентов канонических уравнений для / уравнений, выглядит так:

Рассматривается j группа уравнений. Номер первого уравнения равен jo (т.е. это уравнение соответствует jo неизвестному), а номер последнего

Группы уравнений формируются последовательно, т.е. первой составляется группа уравнений, имеющая jol а последней составляется группа, для которой jo+t=n.

Из массива структурного описания элементов вьщеляются элемент, и вектор номеров его узловых неизвестных. Если сформированный для г элемента вектор номеров узловых неизвестных не содержит номеров уравнений, входящих в j группу, то г элемент дальше не рассматривается и происходит переход к г+1 элементу. В противном случае осуществляется дальнейшее рассмотрение г элемента.

По номерам узлов вьщеляются их координаты, по которым определяются геометрические размеры элемента и его ориентация относительно общей системы координат (строится матрица направляющих косинусов).

По типу жесткости, соответствующему г элементу, выделяются физические характеристики элемента и из библиотеки процедур достается процедура построения матрицы жесткости (МЖ).

По имеющимся физическим и геометрическим характеристикам г элемента и вьщеленной процедуре строится МЖ в местной системе координат.

Перемножением полученной МЖ слева и справа на квазидиагональную матрицу направляющих косинусов она переводится в общую систему координат.

По вектору номеров узловых неизвестных определяются адреса элементов составленной МЖ в общей системе координат.

Составляющие правой части (столбцов свободных членов) производятся следующим образом: для узловой нагрузки ее величина сразу засьшается в соответствующие места столбцов, а в случае местной нагрузки на КЭ производится предварительное сведение ее к узловой по формуле (2.9).

Если система уравнений строится вся сразу, то необходимость в первых двух пунктах отпадает, и построение системы уравнений включает только пункты 3-f8. Основой составления канонических уравнений является процедуры составления МЖ, которые как, указывалось выше, содержатся в библиотеке конечных элементов (БКЭ). Основное требование к БКЭ - это ее открытость, т.е. возможность пополнять ее новыми процедурами. По сути, именно БКЭ придает программным комплексам, реализующим МКЭ, свойство универсальности и гибкости, так как, пополнив БКЭ новыми КЭ можно расширить класс решаемых задач, практически оставляя без изменений основную структуру комплекса.

Ниже приведем по нашему мнению характерный для современных программных комплексов состав БКЭ, который условно можно структурировать по нескольким разделам:

Конечные элементы, моделирующие линейно деформируемые системы:

Стержни. Как правило, это широкий набор одномерных конечных элементов, обладающих следующими свойствами:

произвольное сечение постоянное или переменное по длине стержня произвольная местная нагрузка

примыкание к узлам при помощи абсолютно жестких вставок или шарниров

возможность учета сдвига

возможность моделирования частных классов задач - ферменный стержень, стержень балочного ростверка, в том числе и на упругом основании и др.

Толстые и тонкие пластины. Как правило, это набор двумерных конечных элементов имеющих форму треугольника, прямоугольника, выпуклого четырехугольника и обладающих следующими свойствами:

возможность учета анизотропных, ортотропных и изотропных свойств материала

возможность моделирования многослойных конструкций

возможность моделирования различных классов конструкций: балки-стенки (только мембранная группа усилий и деформаций), изгибаемые плиты, в том числе и на упругом основании (только изгибная группа усилий и деформаций), оболочки (мембранная и изгибная группа усилий и деформаций)

произвольная местная нафузка на всей или на части области КЭ Массивные тела. Как правило, это набор трехмерных конечных элементов в виде параллелепипеда, тетраэдра, четырехугольной и

треугольной призмы, выпуклых шестиузлового и восьмиузлового элементов, обладающих следующими свойствами:

возможность учета анизотропных, ортотропных и изотропных свойств материала

произвольная нагрузка на всей или на части области КЭ

Конечные элементы, моделирующие нелинейно деформируемые системы (физическая и геометрическая нелинейность).

Их набор и свойства аналогичны конечным элементам для линейно деформируемых систем, кроме того, эти конечные элементы должны допускать возможность задания произвольных законов деформирования (зависимость между напряжениями и деформациями). Важным и востребованным свойством таких конечных элементов является возможность моделирования биматериальных конечных элементов (типа железобетона) с заданием двух различных законов деформирования, а также возможностью моделировать свойства грунта.

Важным требованием к БКЭ является наличие конечных элементов (особенно стержней и пластин) одновременно учитывающих физическую и геометрическую нелинейность*

Специальные элементы.

Некоторые из этих элементов можно условно отнести к конечным элементам, так как они не обладают собственно атрибутами КЭ - базисные функции, область конечного элемента и т.п. Однако с точки зрения реализации они естественно вписываются в конечно-элементную процедуру и значительно расширяют инструментарий для построения конечно-элементных моделей. К таким элементам можно отнести элементы, моделирующие податливую связь между узлами, законтурные элементы упругого основания, односторонние связи, элемент, моделирующий предварительное напряжение (форкопф), элемент, моделирующий абсолютно жесткое тело и мн. др. Последние два элемента заслуживают более подробного рассмотрения, так как сравнительно мало известны в инженерной практике, однако, оказываются очень полезными при составлении ряда конечно-элементных моделей. Так элемент форкопф позволяет моделировать процесс организации заданного натяжения, например, вантовой сети, вантовой сферы, мачтовых вант, мембран и т.п. Для таких конструкций натяжение одной из вант вызывает перераспределение усилий в остальных элементах и для достижения заданного натяжения во всех вантах необходимо организовать достаточно сложный итерационный процесс, который моделирует натурный процесс натяжения, когда заданное натяжение достигается последовательным (с многократной подтяжкой и отпусканием) натягивающих устройств

* В ПК ЛИРА имеется большой набор стержневых и пластинчатых конечных элементов, одновременно учитывающих физическую (в том числе и для железобетона) и геометрическую нелинейность.

(форкопфов, домкратов, полиспастов) с непрерывным контролированием величин предварительного натяжения.

Элемент абсолютно жесткое тело может оказаться очень полезным, при моделировании, например, такого распространенного класса конструкций как безригельное перекрытие, опирающееся на колонны с различным сечением. В этом случае тело колонны в области плиты моделируется этим элементом с ведущим узлом, соответствующим центру тяжести сечения колонны, и ведомыми узлами, соответствующими узлам контура сечения колонны. Подробно об этом в разделе 3.5, а в главе 4 приводится ряд примеров применения этих элементов на основе ПК ЛИРА.

Необходимым требованием к БКЭ является ее прозрачность , т.е. для каждого КЭ должны быть описаны базисные функции, типы узловых неизвестных и приведены величины порядка сходимости*. Это может оказаться очень полезным для пользователя при составлении сложных комбинированных конечно-элементных моделей и оценки полученного приближенного решения.

Построение МЖ может выполняться несколькими способами:

Непосредственное использование заранее полученных формул для каждого элемента МЖ. Этот способ, как правило, используется для простых (стержень, прямоугольный или треугольный элемент балки-стенки) и часто используемых конечных элементов, так как он обладает наибольшим быстродействием.

Получение на основе матриц D, В и базисных функций формул в явном виде, а затем конкретных значений элементов МЖ.

Использование численного интегрирования. Этот прием применяется в случае затруднительного получения формул (треугольные и четырехугольные элементы плит и оболочек и т.п.). При этом используются точные формулы численного интегрирования.

В этом случае для вычисления интеграла I = f{x)dQ. используются

п

формулы численного интегрирования (квадратичные), которые имеют вид: I = S±f{x)-k

где S - площадь (длина, объем) области Д xi - набор точек, ki -весовые координаты.

Координаты узлов х/ и значения весовых коэффициентов ki подбираются таким образом, чтобы полученные квадратурные формулы бьши точными на /3 для многочленов некоторой степени. В качестве областей i?рассматриваются:

* в БКЭ реализованной в ПК ЛИРА эти требования соблюдены.

отрезки;

треугольники и прямоугольники;

тетраэдры, прямые треугольные призмы и прямоугольные параллелепипеды.

Более сложные области, например, четырехугольники, получаются объединением перечисленных выше.

Для отрезков, прямоугольников и прямоугольных параллелепипедов применяются известные квадратурные формулы Гаусса. Квадратурные формулы для треугольников и тетраэдров приведены в [3.7].

При построении матрицы жесткости и вектора правых частей, согласно (2.8),

1= [DB<pj)B<pdQ. или /= \f<PjdQ.

fir Cir

Поэтому степень многочлена ро который должен интегрироваться точно, определяется порядком т дифференциального оператора В и степенью полиномов р^ определяюш;их базисные функции. Для первого интеграла ро=2(р-т) для второго интеграла роР-

Для сохранения положительной определенности матрицы жесткости требуется, как указано в [3.8], чтобы все весовые коэффициенты ki были положительны*.

При решении физически нелинейных задач, когда модули деформации переменны по области КЭ, численное интегрирование практически является безальтернативным приемом.

Приведенные выше три методики получения МЖ применяются и при реализации процедуры приведения местной нагрузки на КЭ к узловой.

Составление канонических уравнений МКЭ связано с решением ряда проблем: порядок нумерации узлов с целью сокращения количества вычислений и улучшения обусловленности матрицы системы уравнений, учет кинематически связанных перемещений, реализация различных систем координат, расчет на деформационные воздействия и многое другое. Некоторые наиболее по нашему мнению важные проблемы будут рассмотрены ниже.

3.3 Решение систем уравнений высоких порядков

Успешная реализация МКЭ, как и любого численного метода, всегда будет связана с достижениями в проблеме решения систем уравнений высоких порядков. Да и само появление электронных вьпислительных

* Квадратурные формулы для треугольника, точные для многочленов степени выше третьей, но с отрицательными весовыми коэффициентами, предложены в [3.7]. В ПК ЛИРА используются формулы с положительными коэффициентами.

машин объяснено необходимостью решения систем из несколысих десятков (кажется 43) линейных уравнений для проблем ядерной физики.

История проблемы решения систем уравнений высоких порядков в какой-то системе отражает весь драматизм многочисленных заблуждений и находок специалистов на пути реализации численных методов решения задач механики и, конечно, в первую очередь МКЭ.

Вначале была эйфория. В конце 50-х появились первые программы, которые решали несколько десятков линейных уравнений за несколько минут (тогда был реализован метод Гаусса, да и сейчас метод исключений - это практически основа всех многочисленных модификаций) и казалось, что проблема закрыта, так как сравнения проводились с возможностями ручного счета. Опытным путем было выявлено, что специалист на клавишных автоматах с хорошей организацией проверок может решить систему до 18 уравнений. Для этого требовалось несколько дней, а дальнейшее увеличение количества уравнений приводило практически к невозможности их решения из-за непреодолимого нарастающего каскада ошибок (человеческий фактор!).

Эйфория быстро прошла, так как появились алгоритмы составления уравнений, и сразу же появилась необходимость решения систем из нескольких тысяч уравнений. Для тех времен это была огромная, поражающая впечатление специалистов величина, а для слабых ЭВМ того времени это уже стало проблемой.

Сразу же

появились приемы для уменьшения количества

вычислений [3.1], в первую очередь использование симметрии (прерогатива вариационных методов) и ленточной структуры матрицы.

Вначале минимизация ширины ленты достигалась за счет использования различных рекомендаций при ручной нумерации узлов. Например, в случае вытянутой конструкции нумерацию целесообразно проводить последовательно по узкой полосе (рис 3.1). Затем при появлении автоматической триангуляции начали использовать методы [3.2], позволяющие проводить автоматически минимизацию ширины ленты.

Рис.3.1

а) - хорошая нумерация

б) - плохая нумерация

Много работ было посвящено использованию специфики аппаратной реализации арифметических действий - метод обхода нулей, основанный на замене в ряде случаев арифметических операций более быстрыми логическими , минимизация обращений к внешней памяти, основанная на групповом исключении неизвестных [3.3] и т.п.

Сейчас, когда часто используются компьютерные модели конструкций, включающие более 1 млн. неизвестных перемещений появилась новая проблема преодоления плохой обусловленности матрицы.

Для уменьшения влияния плохой обусловленности существует несколько приемов: выбор благоприятной формы КЭ, исключение элементов с очень большой или очень маленькой жесткостями по сравнению с большинством принимаемых элементов (эти приемы обсуждаются в разделе 4), последовательность нумерации узлов. Так известно, что при локализованной .области узлов с наложенными связями, узлы этой области следует нумеровать последними, т.е. проводить нумерацию узлов начиная с наиболее слабой (в смысле жесткостей и связей) к более жесткой.

В этом смысле если конструкция на рис. 3.1 имеет связи, наложенные по линии узлов 25-32, то нумерация рис. 3.1.6 окажется более предпочтительной.

В настоящее время имеется много прямых и итерационных методов решения систем линейных уравнений высоких порядков (профильные, фронтальные, многофронтальные, многосеточные, агрегатные и мн. др.) в той или иной степени направленных на преодоление проблемы плохой обусловленности матрицы и больших затрат времени.

Все эти методы можно разделить на прямые (заранее известно количество вычислений, но неизвестно какая точность будет достигнута) и итерационные (задается точность, которую надо достичь, но неизвестно количество вычислений для достижения этой точности и вообще нет гарантии, что эта точность будет достигнута).

Практически все прямые методы основаны на методе исключения Гаусса. Общей идеей большинства итерационных методов для решения уравнений Ки=Р является построение некоторой положительно определенной матрицы В, В матрице 5, на каждом шаге решается линейная система уравнений

BV =H-Ku ,

по найденному определяется Un+i,

Матрица 5, должна быть такой, чтобы система Bv=Q решалась значительно быстрее исходной. Различные методы построения матриц В приведены в [3.4.

В определенном смысле примером таких методов может служить метод Зейделя, хорошо известный и применявшийся достаточно часто в докомпьютерный период. Для метода Зейделя матрица В представляется

диагональной составленной из диагональных членов матрицы К, а Un+i=Vn~Ut- Процесс продолжается до тех пор, пока значение вектора F будет лежать в пределах заданной точности.

Для промыгаленных программ дающих возможность рассчитать конструкцию на много загружений или построить и исследовать нелинейные компьютерные модели, безусловно, предпочтительнее прямые методы, так как они предполагают получение триангулированной матрицы, а затем быструю обработку прямым и обратным ходом многочисленных столбцов свободных членов.

Для некоторых нелинейных задач применение метода Биргера (упрощенный метод Ньютона) обуславливает несколько сотен прямых и обратных ходов для столбцов свободных членов. Конечно, в этих случаях итерационные методы мало пригодны.

Среди прямых методов, безусловно, выделяются своей целесообразностью современные методы решения разреженных матриц и

1 X

х:х

1 X

х|х

х

X: 4 i

х

.........I......

Рис. 3.2

классический метод суперэлементов, впервые примененный в промышленных программах в 1969г. [3.5]

Прямой метод решения разреженных матриц* представляет собой обыкновенный метод Гаусса с нумерацией неизвестных таким образом, чтобы минимизировать количество вычислений, т.е. количество элементов матрицы, заполняемых в процессе исключения. Идея этого метода продемонстрирована на рис. 3.2.

* Реализованный в ПК ЛИРА этот метод в ряде случаев позволяет в 8-10 раз ускорить процесс решения системы линейных уравнений по сравнению с ленточными структурами.

Рис. 3.3

На рис. 3.2 показано три способа нумерации узлов. Первый способ (рис. 3.2 а) наиболее неудачный, так как матрица в процессе исключения полностью заполняется и количество заполняемых элементов равно 15.

На рис. 3.2 б показана нумерация, организованная по методу минимальной ширины ленты. В этом случае количество заполненных элементов равно 5. На рис. 3.2 в показана нумерация, характерная для метода разреженных матриц (в данном случае она совпадает с окаймленной структурой, для задачи с более сложными связями она имеет вид многонебоскребной структуры, рис. 3.3), заполняемые элементы матрицы в этом случае вообще отсутствуют.

Идея алгоритма перенумерации для разреженных матриц состоит в следующем: выбирается узел, а всем узлам, связанным с ним присваиваются последние номера, затем выбирается следующий узел и эта процедура повторяется. Конечно, метод выбора первого и последующих узлов является определенным know-how.

Если метод разреженных матриц частично решает только первую проблему - минимизирует количество вычислений, то метод суперэлементов ориентирован на решение второй проблемы преодоление плохой обусловленности матрицы. Суперэлементный подход особенно эффективен, когда расчленение на подсистемы происходит естественно: например, здание из объемных блоков (объемный блок - суперэлемент) или диафрагма высотного здания, собирающаяся из отдельных панелей (панель - суперэлемент). Фрагмент диафрагмы высотного здания показан на рис. 3.5. Диафрагма состоит из отдельных панелей, соединяющихся между собой в угловых точках.

Расчет такой системы можно выполнить обычным способом: нанести необходимую сетку и рассчитать всю систему целиком. Однако большое количество расчетных узлов, элементов, неизвестных перемещений может сильно затруднить решение задачи. Используя суперэлементы, можно провести расчет поэтапно, существенно снизив на каждом этапе

размерность задачи. Сначала построить матрицу жесткости для всех типов суперэлементов [в данном случае

имеются два типа 2 (рис. 3.4)], затем р^ 3 4 рассчитать систему,

состоящую из

суперэлементов (в данном случае система будет состоять из 6 суперэлементов с 12 суперузлами). В результате этого расчета будут определены перемещения суперузлов. На заключительном этапе рассчитать каждый из шести суперэлементов на заданные перемещения суперузлов.

Последовательность расчета системы, набранной из суперэлементов, аналогична приведенной ранее с той лишь разницей, что матрица жесткости и узловые нагрузки определяются в результате расчета. Так как суперэлемент представляет сам по себе

достаточно сложную систему, то матрицы базовых функций <рс строятся при помощи численного расчета суперэлемента на единичные смещения суперузлов, в результате которого строится матрица влияния, связывающая перемещения внутренних узлов суперэлемента с единичными смещениями суперузлов. Такая процедура обработки суперэлементов позволяет представить метод суперэлементной рекурсии как расчет по методу конечных элементов с построением аппроксимирующих функций при помощи матриц влияния.

Другая процедура обработки суперэлементов, основана на том, что в физическом смысле исключения j неизвестного по Гауссу соответствует освобождению от j связи. Это приводит к такой схеме построения матрицы

жесткости и сведение местной

Рис. 3.5

о

нагрузки к узловой: для i суперэлемента вначале

нумеруются все внутренние узлы (соответствующее им число степеней обозначим Hi), суперузлы степеней

Рис. 3.6

соответствующее обозначим пю);

свободы а затем (количество свободы, суперузлам, составляются

канонические уравнения для всех Hi+nw степеней свободы (рис 3.6); исключаются nt неизвестные; оставшиеся части матрицы и столбцов свободных членов (на рис. 3.6 они заштрихованы) образуют искомые матрицы жесткости и столбцы узловых нагрузок.

С точки зрения этой процедуры метод суперэлементной рекурсии можно трактовать как своеобразный блочный метод Гаусса.

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 34