Главная » Книжные издания

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 76

сопротивление материала и пр.) является наименее экономичным по расходу материала из всех, показанных на рис. 2.7. Наименее металлоемким будет сечение, показанное на рис. 2.7,г.

Практический же выбор формы поперечного сечения изгибаемых элементов зависит от многих факторов, среди которых одним из главных является расход материала, так как стоимость его составляет около 80% общей стоимости конструкции.

Распределение пластических деформаций по длине балки зависит от типа опор и характера распределения нагрузки по ее длине. На рис. 2.9 показан пример шарнирно опертой балки под равномерно распределенной нагрузкой. Здесь параболические эпюры М и

Рис. 2.9. Распределение пластических деформаций в балке

а - расчетная схема балки; б - эпюры напряжений в различных сечениях балки; в - эпюры изгибаюищх моментов; 1 - зона

пластических деформаций; М - предельная эпюра при упругой работе материала; М -то же, при появлении пластического

шарнира

соответствуют предельному упругому и упругопластическому состояниям балки. Эпюры напряжений в сечениях I, 2, 3 соответствуют эпюрам, показанным на рис. 2.5,а, б, в. Длина пластической

области 1пл может быть определена из неравенства > ё jW. Изменение ее высоты зависит от эпюры моментов .

Формула для проверки прочности изгибаемых элементов при наличии пластических деформаций (пластический шарнир) получается из выражения (2.18) путем замены Wn на Wnnn = cWn, т.е.

M/icWn) < Ry У с M/Wn < cRy f с-

(2.23)

Сравнивая это выражение с (2.18), видим, что формально учет пластических деформаций сводится к повышению расчетного сопротивления умножением на величину с.

Кроме нормальных напряжений & х R балках возникает также касательные напряжения txy, зависящие от поперечной силы Q, и локальные напряжения ё у в местах передачи на балку сосредоточенных нагрузок. В этом случае границы пластической области в балке определяются условием пластичности в форме (2.13): § пр = & т. Приведенное напряжение зависит от соотношения величин ё> х, у, лу, которое может быть самым разнообразным. Например, для балок, загруженных сосредоточенными силами при частом их расположении по пролету (рис. 2.10,а), определяющей будет компонента ё х- Форма пластической области по характеру будет близка к показанной на рис. 2.9.

подробнее см.: Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материала. 2-е изд. - М., 1954.

Рис. 2.10. Распределение пластических деформаций в двутавровой балке при сложном напряженном состоянии

а - при больших нормальных напряжениях; б - при больших касательных напряжениях

При большой сосредоточенной нагрузке на балке с малым пролетом (рис. 2.10,6) определяющим может быть напряжение Т ху. Распределение ё пр по высоте балки в упругой стадии будет существенно отличаться от предыдущего случая, что при дальнейшем увеличении нагрузки вплоть до появления пластического шарнира (б пр = & т) обусловит более развитую пластическую область вблизи нейтральной оси балки.

При рассмотренном многокомпонентном напряженном состоянии проверку прочности балки можно производить по следующей формуле:

пр =/ё

ex &у + 3 г- < l,l5Ry fc.

(2.24)

где 1,15 - коэффициент, учитывающий развитие пластических деформаций в балке [аналогично коэффициенту с в формуле (2.23)].

Современными нормами допускается использование формулы (2.23) для проверки прочности балок при наличии двух компонент напряжений ё> хи txy, когда VxyiO,5Rs. При большем значении Г ху знаменатель выражения (2.23) умножается на коэффициент < 1, зависящий от касательных напряжений.

При изгибе относительно двух главных осей инерции поперечного сечения балки (х, у) - косом изгибе - проверку прочности с учетом пластических деформаций допускается осуществлять по упрощенной формуле

Мх/{CxJiWx,nMn) + My/(cyWy,n,mm) < Ry f с при Г < 0,5/?s, (2.25)

где Cx и Су даются в зависимости от формы сечения (см. прил. 6); Ji зависит от величины тху (подробнее см. гл. 7).

В металлических элементах после их изготовления (прокатки, сварки) и соединения с другими элементами возникают остаточные деформации, которые, складываясь с деформациями от внешних нагрузок, могут существенно влиять на окончательную форму пластических областей (см. п. 4.3.2).

Проверка прогибов изгибаемых элементов по второму предельному состоянию производится от нагрузок, которые, как правило, меньше расчетных. В связи с этим в большинстве случаев эта проверка выполняется по формулам упругого состояния типа (2.19).

2.4.4. Основы работы и расчета на устойчивость центрально сжатых стержней. Исчерпание несущей способности длинных гибких стержней, работающих на осевое сжатие (рис. 2.11,а), происходит от потери устойчивости.

Поведение стержня под нагрузкой характеризуется гра(иком, представленным на рис. 2.11,6. Вначале с ростом нагрузки стержень сохраняет прямолинейную форму - устойчивое состояние. При достижении критической нагрузки = Ncr стержень начинает резко выпучиваться. Дальнейший (небольшой) рост внешней нагрузки будет сопровождаться быстрым увеличением поперечного прогиба стержня /. После достижения максимальной нагрузки - второй критической силы N = Ncr - стержень теряет несущую способность (неустойчивое состояние).

В приведенном описании термины устойчивое или неустойчивое состояние, критическая сила характеризовались соотношением между сжимающей силой и прогибом стержня, т.е. внешним его поведением.

Такое определение является далеко не полным. Например, устойчивое состояние может быть при / = О и / > О (точки / и 2). Однако при / > О стержень может находиться в устойчивом состоянии (точка 2) и неустойчивом (точка 3) при одинаковой сжимающей силе.

Критическое состояние может быть при / = О и при / > О (точки Ncr и Ncr). Строгое определение этих состояний можно дать на основе энергетических принципов с использованием понятия виртуальной работы, совершаемой внешними и внутренними силами на возможном перемещении.

При фиксированном N = const, давая стержню возможное перемещение, можно подсчитать приращение работ внешних g?Ag и внутренних с^А^сил. Если с^ > Ag, то состояние стержня будет устойчивым, при сГЛ^- <

Mi =

при

неустойчивым, SAe - критическим. В первом случае разница между виртуальными работами возвращает систему в первоначальное состояние. Во втором случае приращения работы внут-

Рис. 2.11. Работа центрально-сжатого стержня

а - расчетная схема; 6 - зависимость между нагрузкой и прогибом стержня

ренних сил сзРЛ/ недостаточно, чтобы вернуть систему в первоначальное состояние, стержень теряет устойчивость. Третий случай является пограничным, критическим.

При изучении проблемы устойчивости стержней приращения работ на возможных перемещениях можно заменить приращениями соответствующих моментов оРМе и (PMi вследствие их прямой пропорциональной зависимости.

Для идеально упругого и прямолинейного стержня (см. рис. 2.11,а) при фиксированном = = const приращение момента внешних сил при возможно прогибе с амплитудой v равно сРМе = = Nv. Приращение момента внутренних сил с^М/ = J>EI, где EI - жесткость стержня, J0 = -у - кривизна.

Задавая форму возможного перемещения стержня по синусоиде у = = -v sinf9fx o), получаем амплитудное значение кривизны J3 = -у (х = = /о/2) = St vll. Подставляя это значение в выражение Mi и приравнивая сз5М,- = сРМе, получаем значение первой критической силы Ncr = ЯТ EI/Iq . Это известная формула Эйлера, полученная в 1744 г. иным путем. Соответствующее критическое напряжение будет иметь вид

Рис. 2.12. Диаграмма упругопластической работы стали

(2.26)

где А - площадь поперечного сечения стержня; i - УИА - радиус инерции; / - /о - гибкость стержня; k - JJ-l - расчетная длина стержня; JU. - коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Эта формула справедлива при постоянном модуле упругости Е, т.е. при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности $ сг < пц, при этом ЦтУе/S пц. Для мягких строительных сталей S пц ~

20 кН/см, следовательно, Л ЗГ-у^2,06 10*/20 100. Для сталей повышенной прочности применимость формулы Эйлера ограничена значением Л > 85.

Следует заметить, что на практике гибкости центрально сжатых стержней (колонн, элементов ферм, рам и т.д.) в большинстве случаев составляют примерно половину указанных предельных.

При JI меньше предельных стержни теряют устойчивость в упругопластической стадии работы материала с касательным модулем деформации Et = d ё /dS < Е (рис. 2.12). Для этого случая проф. Ф.С. Ясинским в 1895 г. была предложена следующая схема работы стержня при потере устойчивости (рис. 2.13).

Как и в предыдущем случае, фиксируется нагрузка N = const. Ей будет соответствовать эпюра равномерно распределенных напряжений по сечению стержня 8 а = NiA > 5 ц (рис. 2.13,а).

При второй критической силе Л'с^аблюдаются большие прогибы стержня, поэтому она не представляет практического интереса.

При возможном прогабе стержня с амплитудой V на сжатой его стороне напряжения будут увеличиваться в соответствии с касательным модулем Et (см. также рис. 2.12). На противоположной стороне на сжатие от силы Л' будет накладываться растяжение от изгиба, т.е. произойдет разгрузка, которая следует упругому закону ё = Е & . Поэтому эпюра напряжений от возможного изгиба будет асимметричной. Нейтральная ось переместится в сторону разгруженных волокон (точка О на рис. 2.13,а). Появится дополнительный эксцентриситет а продольной силы. Приращение момента внешней силы сРМе = N(v + а). Для внутренних сил М/ определится

суммой соответствующих интегралов по площадям А\ и Аг, разделенным нейтральной осью 2-2 (рис. 2.13,6):

с^М,- = J Q>\ydA - J &2ydA =

= J E JOydA + J Et J)ydA = A, Аг

= J3(E J ydA + Et S ydA) = Ai Аг

= J) {Ell + Etl2). (2.27)

Рис. 2.13. Напряженно-деформированное состояние центрально сжатого стержня в момент потери устойчивости

а - эпюра напряжений; б - поперечное сечение стержня

По аналогиии с формулой для момента в упругой стадии последнее выражение запишем в виде cPMi = J>TJ, где Т представляет собой приведенный модуль деформации, определяемый из равеенства TJ = Е1\ + Eth, откуда

Т = (£/1 + Etl2)/I.

(2.28)

Далее, действуя аналогично случаю упругого материала, из равенства оРМе = cMi получаем формулу для критического напряжений в эйлеровом виде

(2.29)

Введение понятия приведенного модуля Т эквивалентно замене стержня из разнородного материала (участок Ai подчиняется упругому закону, участок А2 - пластическому) стержнем из однородного материала с уменьшенным модулем упругости. Можно было бы сделать иначе . Продолжая

такой прием используют, например, при расчете на прочность сталежелезобетонных балок и других комбинированных конструкций.

Т

\ -

Рис. 2.14. Зависимость критических напряжений и приведенного модуля деформаций от гибкости стержня

/ - кривая Эйлера; 2 - кривая критических напряжений для сталей типа СтЗ; 3 - график модуля Т

ющие сжатой и растянутой зон от по абсолютной величине

цепочку выкладок (2.27), напишем SMi = J0E(I\ + kl2), где к = = Et/E. Введем обозначение /е/ == /i + + kl2 - приведенный момент инерции. Тогда (SMi = J>EIef. Это приведет к формуле критических напря-

жений ё сг = ?Г^£/ / ef, где JI е/ = = lo/ief, ief = V left А'.

Для определения величины Т необходимо знать положение нейтральной оси 2-2 (рис. 2.13,6). Оно определяется из условия равенства нулю проекции всех сил на продольную ось стержня Sx = 0.

Сила N уравновешивается равнодействующей эпюры напряжений ё о = = N/A, следовательно, равнодейству-изгиба должны быть равны между собой

i 1(§,1й?Л = JigJ dA или Ер I ус/Л = £f/3 J ydA или Si = kSi, (2.30)

где к - Ei/E; 5i и S2 - статические моменты площадей A\v\ Аг относительно нейтральной оси 2-2.

Для каждого конкретного случая, выражая 5i и 52 через геометрические размеры сечения стержня, можно определить положение нейтральной оси, а следовательно, значение Т по формуле (2.28). Тогда из выражения (2.29), полагая б о = & сг, можно определить jl = чгсУ Т/ <о oi соответствующее критическому состоянию.

Задавая различные значения € й, можно таким способом по точкам построить зависимость $ а- - } (рис. 2.14).

. На этом же рисунке схематично приведен график зависимости Т - /.Здесь / е/ - предельное значение jl , ограничивающее применимость формулы Эйлера. При j? < /е/ вид кривых ё сг а Т существенно зависит от вида кривой работы материала, а следовательно, от вида стали или алюминиевого сплава (влияние Et).

При вычислении 3 сг существенно используется равенство (2.30), определяющее положение нейтральной оси, которое зависит от формы поперечного сечения стержня и ориентации его осей.

Например, для прямоугольного сечения, показанного на рис. 2.13,6, Si = = bhi/2, S2 = М2/2. Полагая т = hi/h, получаем Нг = mh, h\ - (\ - - m)h. Подставляя эти значения в (2.30), получаем т = 1/(1 + /~к). Положим, что для фиксированного о по графику ё - £ (см. рис. 2.12) имеем Et/E = 0,1, тогда т = 0,76, а по формуле (2.28) Т = = 0,23£. Для этого значения приведенного модуля <§ сг = 0,23 7v Е/ JI , откуда / = 0,48 9Г у^Е/ ё 6.

Аналогично для стержня двутаврового сечения, теряющего устойчивость в плоскости стенки (рис. 2.15,а),

m=[l+c(l+k) -Vfc(l+4c)~+ ТоТТ) гяес-Af/Aw - отношение площади полки к площади стенки.

Г

б) .е

Рис. 2.15. Влияние формы поперечного сечения стержня на критические напряжения

а - потеря устойчивости двутаврового стержня в плоскости стенки; б -то же, в плоскости полок; в - зависимость критических напряжений от гибкости

При fe = 0,1 и с = 1,5 имеем т = 0,89, Г = 0,19£:, ё> = = ОЛЧТг'Е/Л^. Отсюда А = 0,44?Г/£7Жо.

Для двутаврового стержня, теряющего устойчивость в направлении полок (рис. 2.15,6),

led-к)

-{к + 1с- V(l + 2с) (it + 2с)к.

При тех же значениях fe = 0,1 и с = 1,5 имеем т = 0,74, Т = 0,2б£:, (§сг = OaSrE/Л^- Отсюда / = 0,51УгКЁ7Ж7.

Из приведенных данных видно, что при Л < Л el кривые

S сг -

- Д для разных сечений и различной ориентации осей будут разными. Кривая для двутавра по рис. 2.15,а будет располагаться левее, а по рис. 2.15,6 - правее кривой, соответствующей прямоугольному сечению (рис. 2.15,0).

В приведенной классической схеме предполагается, что в момент потери устойчивости нагрузка остается постоянной, тогда на выпуклой стороне стержня происходит разгрузка и материал начинает работать по упругому закону. Однако, если деформация сжатия в процессе продольного изгиба растет или остается постоянной в каждой точке сечения стержня, т.е. разгрузки не происходит, то все сечение будет находиться в пластическом состоянии, характеризуемом касательным модулем деформации Et.

В этом случае критические напряжения в пластической области следует определять по формуле'

(2.31)

Здесь напряжения будут меньшими по сравнению с определяемыми по формуле (2.29) из-за разницы в модулях деформаций (Et<T).

В строительных конструкциях встречаются обе схемы работы сжатых стержней. Например, сжатые элементы статически неопределимых систем

Эта формула впервые была предложена в 1889 г. Энгессером, а в 1946 г. экспериментально обоснована Шенли.

150 200Л

Рис. 2.16. Зависимость случайных эксцентриситетов от гибкости

(ферм, рам) теряют устойчивость по классической схеме - с разгрузкой. В момент потери устойчивости происходит перераспределение усилий между элементами. В колоннах, работающих по статически определимой схеме, будет реализовываться вторая схема - без разгрузки.

До сих пор рассматривался идеально прямой стержень с нагрузкой, приложенной строго по оси. В реальных конструкциях таких условий практически не существует. Ось стержня всегда имеет некоторые искривления, конструктивное оформление концов сжатых стержней не может обеспечить идеальную центровку сжимающей силы и т.д., что приводит к заметному снижению критических напряжений. Учет влияния указанных факторов осуществляется введением в расчет некоторого эквивалентного эксцентриситета сжимающей силы eef. Этот эксцентриситет зависит от многих случайных факторов: технологии изготовления, транспортировки, монтажа, конструктивного решения стержня и его узлов и т.д.

Статистические исследования эксцентриситетов показывают их зависимость от гибкости стержня (рис. 2.16) - они возрастают с ростом гибкости. Поэтому в практических расчетах используют критическое напряжение, вычисленное с учетом случайных эксцентриситетов & сг,е-

В соответствии с первым предельным состоянием устойчивость сжатого стержня будет обеспечена, если ё = N/A < $ сг,е f с- Умножив и поделив правую часть на расчетное сопротивление и введя обозначение

cr,e/Ry = ,

(2.32)

называемое коэффициентом устойчивости , получим формулу для проверки устойчивости центрально сжатых стержней

& = NlA < pRy /с или N/(A t/>.) < Ry/с.

(2.33)

Коэффициент (р имеет двойственную природу:

(2.34)

где 1- i>crlRy -детерминированный коэффициент, учитывающий собственно явление продольного изгиба; Ч> 1~ S .е! 8 - статистический коэффициент, учитывающий влияние случайных факторов, вызывающих дополнительный поперечный изгиб.

На рис. 2.16 указан относительный эксцентрисистет eef * ,где -ядровое расстояние. В литературе можно встретить название коэффициент продольного изгиба при центральном

Критическое напряжение ё сг зависит от гибкости и типа стали, следовательно, 1 также зависит от этих параметров. В общем случае с учетом формулы (2.29) имеем

Х\ Е

(hjRylEY Е

\ Е

(2.35)

200 Л

Рис. 2.17. Влияние случайных эксцентриситетов на коэффициент устойчивости в зависимости от гибкости стержня

в частности, в упругой стадии Т = = Е, следовательно, fpi = svl f.. Здесь введено понятие условной гибкости / VRylE, которое одновременно учитывает гибкость стержня и тип стали.

Коэффициент (р2 также зависит от гибкости. Наименьшие его значения соответствуют средним гибкостям 100 (рис. 2.17).

В соответствии со всеми рассмотренными факторами, влияющими на устойчивость центрально сжатого стержня , а именно, видом стали, формой поперечного сечения, случайными эксцентриситетами, в нормах на проектирование даются формулы и соответствующие таблицы для определения (р . При этом для учета формы сечения все стержни классифицированы на три группы: а, Ь, с, для которых приведены наборы характерных типов сечений. Графически зависимость (р от J и типов сечений приведена на рис. 2.18 (см. также прил. 8).

2.4.5- Основы работы и расчета на прочность стержней, испытывающих сжатие или растяжение с изгибом. При одновременном действии на стержень осевой силы и изгибающего момента М несущая способность его определяется размерами поперечного сечения и предельной прочностью материала. Для случая сжимающей осевой силы это справедливо при обеспечении общей устойчивости стержня и местной устойчивости его элементов.

Рис. 2.18. Зависимость коэффициента устойчивости от условной гибкости

На устойчивость стержней также влияет наличие в них остаточных напряжений от сварки, прокатки и других воздействий.

Если изгибающий момент вызван внецентренным приложением нагрузки М - Ne, то стержень называют внецентренно сжатым (внецентренно растянутым). Если момент вызван поперечной силой, то стержень называют сжато-изогнутым (растянуто-изогнутым) с эквивалентным эксцентриситетом е - MiN.

4j>

v 43

Рис. 2.19. Развитие пластического шарнира при действии на стержень осевой силы и изгибающего момента

а - эпюра напряжений при упругой работе материала; б - tno же, в упругопластической стадии; в - распределение напряжений и усилий в поперечном сечении стержня при образовании пластического шарнира

В упругой стадии работы материала напряжения в поперечном сечении стержня могут быть представлены в виде суммы напряжений от центрального сжатия ём = N/A и от изгиба ём = = My/Jx (рис. 2.19,а). При достижении текучести в наиболее сжатой части сечения напряжения бу-. дут ограничиваться пределом текучести, а с противоположной стороны будут возрастать напряжения растяжения (рис. 2.19,6).

В предельном случае эпюра напряжений будет состоять из двух прямоугольников разной величины (рис. 2.19,0).

По аналогии с изгибом (см. рис. 2.5,0) такое состояние соответствует пластическому шарниру при внецентренном сжатии (внецентренном растяжении). Две разнозначные части эпюры шириной с уравновешивают внешний момент Ра = М, остальная часть - осевую силу N.

В общем случае, когда действует осевая сила Л' и моменты в двух направлениях Мх и My, предельную несущую способность по прочности проверяют по формуле

----) +

----< 1,

(2.36)

где An, Wxn,n\xn, Wyn.mm - площадь и соответствующие моменты сопротивления нетто поперечного сечения стержня; Сх, Су, п - коэффициенты, учитывающие резерв несущей способности материала при развитии пластических деформаций [аналогично случаю изгиба, см. формулу (2.25)].

Для конструкций, выполненных из высокопрочных сталей (ё т 58 кН/см ), а также в случаях, когда по условиям эксплуатации появление пластических деформаций недопустимо, например, при непосредственном воздействии на них динамических нагрузок, в проверочной формуле (2,36) следует положить п = сх = Су = 1.

2.4.6. Основы работы и расчета на устойчивость внецентренно сжатых и сжато-изогнутых стержней. Потеря несущей способности длинных гибких стержней при одновременном действии сжимающей силы и изгибающего момента происходит от потери устойчивости. При этом соответствующие состояния равновесия могут быть определены так же, как для центрального сжатия, с помощью энергетического баланса при вариации формы изогнутой оси стержня, а именно, ($Ai > SAe - устойчивое состояние, оГЛ; < -cSAe - неустойчивое состояние, SAi = SAe - критическое состояние.

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 76